فيبوناتشي ، عالم رياضيات إيطالي من جمهورية بيزا الأوروبية في العصور الوسطى ، كان يُعتبر "أكثر علماء الرياضيات الغربيين موهبة" في عصره. لكننا نسميه الآن ، ربما الأمر الذي يثير استياء الرجل نفسه ، ليوناردو بيسانو. ما فاجأه أيضًا هو أن تسلسل فيبوناتشي الذي أطلق عليه أكثر ما تحدث عنه العالم: 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ... ، وليس إنجازه الرياضي الأعظم - إدخال القيمة المكانية نظام تدوين للأرقام العربية ومضاعفاتها لأوروبا.
ليوناردو بوناتشي وليوناردو فيبوناتشي
تركت الإمبراطورية الرومانية المقدسة أوروبا بنظام الأرقام الرومانية ، ولا يزال بإمكاننا رؤية التعبير "2013 is MMXIII" في إشعارات حقوق النشر للعديد من الأفلام اليوم. لم يتم استبدال الأرقام الرومانية بالأرقام العربية حتى منتصف القرن الثالث عشر الميلادي ، وكان كتاب ليوناردو بيسانو Liber Abaci من أوائل الكتب الغربية التي أوصت باستبدال الأرقام الرومانية بالأرقام العربية.
ولد ليوناردو بيسانو في بيزا بإيطاليا في نهاية القرن الثاني عشر ، لذلك أطلق عليه الناس أيضًا اسم ليوناردو بيزا. بيزانو ، بالإيطالية يعني أنه من بيزا ، تماماً كما تعني مانشستر من مانشستر. تم تسمية والد ليوناردو Guglielmo Bonaccio. بعد قرون ، عندما كان العلماء يدرسون نسخة مخطوطة من كتاب الحساب (لأنها نُشرت قبل اختراع الطباعة) ، أساءوا فهم جزء من العنوان - "فيليوس بوناتشي" (بمعنى ابن بوناتشيو). لقبه ، لذلك فإن عالم الرياضيات العظيم الذي نسميه "فيبوناتشي" ينتقل من هذا الخطأ إلى يومنا هذا.
قضى فيبوناتشي (دعنا نسميه هذا على أي حال) طفولته في شمال إفريقيا ، وتلقى تعليمه على يد المغاربة ، في بربري (الجزائر) ، وسافر كثيرًا ، وأرسل لاحقًا إلى مصر ، وسوريا ، واليونان ، وصقلية للسفر إلى بروفانس. عند عودته إلى بيزا عام 1200 بعد الميلاد ، استخدم ما تعلمه في رحلاته لكتابة كتاب الحسابات (نُشر عام 1202). كان في هذا الكتاب أنه قدم نظام الأرقام الهندية العربية إلى العالم الناطق باللاتينية آنذاك. كتب في بداية الفصل الأول من الجزء الأول من الكتاب:
"هذه هي الأرقام التسعة في الهند: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. باستخدام هذه الأرقام التسعة ، بالإضافة إلى الرمز 0 (يسمى zephiroum باللغة العربية) ، يمكننا تحويل أي رقم مثل اكتبه على هذا النحو."
كانت إيطاليا في ذلك الوقت مكونة من دول ومدن صغيرة مستقلة ، مما أدى إلى استخدام أنظمة قياس وعملات متعددة. عندما كان التجار يتاجرون بين أنظمة مختلفة ، اضطروا للتحويل من نظام إلى آخر ، وأدت طريقة حساب الأرقام الرومانية المتخلفة إلى إعاقة سلوك العمل بشكل خطير. كتب فيبوناتشي "كتاب الحسابات" لهؤلاء التجار ، والذي تناول عددًا كبيرًا من القضايا العملية وأظهر كيف يمكن إجراء الأعمال البسيطة والفعالة باستخدام نظام الأرقام الجديد هذا مقارنة بالأرقام الرومانية والحسابات الرياضية الخرقاء. يعد نشر تأثير الأعداد العشرية من خلال كتاب فيبوناتشي أعظم إنجاز رياضي له. ومع ذلك ، فأنا معروف جيدًا للعالم بسبب تسلسل فيبوناتشي المدرج في "كتاب الحساب".
مشكلة الأرنب فيبوناتشي
إحدى المشكلات الرياضية التي درسها فيبوناتشي في كتابه "كتاب الحسابات" تتعلق بمعدل تكاثر الأرانب في ظل الظروف المثالية. افترض أن زوجًا من الأرانب المولودة حديثًا ، ذكر وأنثى ، قد تم إطلاقهما في حقل ليتم تربيتهما. يمكن للأرانب أن تتزاوج عندما تبلغ من العمر شهرًا واحدًا ، لذلك بحلول نهاية الشهر الثاني ، يمكن للأنثى أن تنتج زوجًا آخر. بافتراض أن الأرنب لا يموت أبدًا ، فإن أنثى الأرنب ستلد زوجًا جديدًا من الأرانب (ذكر وأنثى) كل شهر بدءًا من الشهر الثاني. السؤال الذي طرحه فيبوناتشي هو. كم عدد أزواج الأرانب سيكون إجماليًا بعد عام واحد؟
· في نهاية الشهر الأول ، يتزاوجان ، لكن لا يزال هناك زوج واحد فقط.
· في نهاية الشهر الثاني ، أنجبت أنثى الأرنب زوجًا جديدًا من الأطفال ، لذا يوجد الآن زوجان من الأرانب.
· في نهاية الشهر الثالث ، تنتج الأنثى الأصلية زوجًا ثانيًا ، ليصبح المجموع 3 أزواج.
· في نهاية الشهر الرابع ، أنتجت الأنثى الأصلية زوجًا جديدًا ، وأنتجت أنثى الجيل الثاني ، التي ولدت قبل شهرين ، زوجها الأول ، ليصبح المجموع خمسة أزواج من الأرانب الآن.
افترض الآن أن هناك x_n زوجًا من الأرانب بعد n من الأشهر. إذن ، عدد الأرانب التي ستكون في n + 1 شهر هو x_n أزواج من الأرانب ، (الأرانب لن تموت أبدًا) بالإضافة إلى زوج من الأطفال حديثي الولادة. لكن الأزواج الجديدة تولد فقط عندما يكون عمرهم شهرًا واحدًا على الأقل ، لذلك سيكون هناك x_ (n-1) أزواج من الأرانب الجديدة. اذا لدينا
هذه مجرد قاعدة لتوليد متتالية فيبوناتشي: أضف آخر حدين للحصول على الحد التالي. بعد ذلك ، ستجد أنه بعد 12 شهرًا ، سيكون هناك 233 زوجًا من الأرانب.
في الواقع ، من الأفضل استخدام النحل كمثال.
من الواضح أن مشكلة الأرانب مصطنعة ، لكن تسلسل فيبوناتشي يظهر بالفعل في التجمعات السكانية الفعلية في الطبيعة ، والنحل مثال على ذلك. في مستعمرة النحل ، هناك نوع خاص من الإناث يسمى ملكة النحل. جميع الإناث الأخريات من النحل العامل ، والنحل العامل لا يضع البيض. لا يعمل ذكر النحل الإضافي ويطلق عليه اسم الطائرات بدون طيار.
يتم إنتاج الطائرة بدون طيار من بيض ملكة النحل غير المخصب ، لذلك ليس لديها سوى أم وليس لها أب. وتنتج جميع الإناث عندما تتزاوج ملكة النحل مع ذكر. لذا فإن إناث النحل لها أبوان ، ذكر وأنثى ، بينما لدى ذكور النحل أم واحدة فقط ، وهي الأنثى.
الآن دعونا نلقي نظرة على شجرة عائلة الطائرة بدون طيار أعلاه من الأسفل إلى الأعلى ونرى تسلسل فيبوناتشي مرة أخرى.
الحلزونات والأصدافمجموعات النحل ليست المكان الوحيد في الطبيعة حيث تظهر أرقام فيبوناتشي ، فهي تظهر أيضًا في الشكل الحلزوني الجميل للأصداف البحرية. يمكننا أن نرى الرسوم المتحركة أدناه ، بدءًا من مربعين صغيرين بحجم 1. ارسم مربعًا بحجم 2 (= 1 + 1) فوق هذين المربعين الصغيرين. يمكننا الآن رسم مربع جديد - مربع يتمسك بكل من مربع وحدة واحدة وجوانب المربع الجديد الثاني ، وبالتالي يبلغ طول الأضلاع 3 وحدات ؛ ثم مربع آخر يتمسك بمربعين و 3 مربعات (له 5 جوانب وحدة ). يمكننا الاستمرار في إضافة المربعات حول الصورة ، كل مربع جديد له جانب طوله يساوي مجموع أضلاع أقرب مربعين. أطوال أضلاع هذه المجموعة من المستطيلات عبارة عن رقمين متجاورين من أرقام فيبوناتشي ، والتي نسميها بالمستطيلات الذهبية.
إذا رسمنا الآن ربع دائرة على كل مربع ، فيمكننا رسم حلزوني. على وجه الدقة ، هذا اللولب ليس حلزونيًا رياضيًا حقيقيًا (لأنه يتكون من مقاطع قوس دائرية ، ولن يصبح نصف القطر أصغر وأصغر) ، ولكنه يمكن أن يكون تقريبًا جيدًا للشكل اللولبي الذي يظهر غالبًا في الطبيعة ، مثل القواقع والأصداف. في الصورة أدناه ، يظهر مقطع عرضي لقذيفة بحرية المنحنى الحلزوني للصدفة.
يظهر تسلسل فيبوناتشي أيضًا في بتلات وسبالات النباتات. تنمو بعض النباتات أيضًا بهذه الطريقة ، مثل الإقحوانات يمكن أن تحتوي على 34 و 55 وحتى 89 بتلة! أيضا ، الترتيب السحري والجميل بشكل خاص هو الحلزون في مهده. في المرة التالية التي ترى فيها زهرة عباد الشمس ، انظر عن كثب إلى ترتيب البذور في إناء الزهور وستلاحظ أن مجموعتين من الحلزونات ، واحدة تسير في اتجاه عقارب الساعة إلى اليمين والأخرى في عكس اتجاه عقارب الساعة إلى اليسار ، متضمنة في بعضها البعض ، وتنمو في هذا ترتيب.
انظر إلى حواف صورة زهرة عباد الشمس أعلاه ، إذا عدت منحنيات البذور المتصاعدة إلى اليسار وأنت تتجه للخارج ، فهناك 55 دوامة. في نفس النقطة ، هناك 34 بذرة حلزونية تتصاعد جهة اليمين. أبعد قليلاً في المنتصف ، يمكنك عد 34 حلزونيًا إلى اليسار و 21 إلى اليمين. في تسلسل فيبوناتشي ، تكون أزواج الأرقام (الأرقام الحلزونية المنحنية إلى اليسار والأرقام الحلزونية المنحنية إلى اليمين) متجاورة دائمًا (كما هو موضح في الرسم البياني أدناه).
وينطبق الشيء نفسه على العديد من البذور وبراعم الزهور في الطبيعة. يبدو أن السبب هو أن هذا الهيكل يشكل ترتيبًا مثاليًا للبذور ، بحيث بغض النظر عن حجم البذور ، يتم توزيعها بالتساوي في أي مرحلة ، وجميع البذور بنفس الحجم ، والمركز غير مزدحم ، والحواف غير مزدحمة ليس متناثرًا جدًا ، والقرص هو الأقوى.
يبدو أن الطبيعة تستخدم نفس النمط لف البتلات حول حافة الزهرة وتوزيع الأوراق حول الساق. علاوة على ذلك ، يتم الحفاظ على هذا الهيكل طوال فترة نمو النبات المستمر! إذن كيف تحافظ النباتات على هذا على النحو الأمثل؟
نمو الذهب عن طريق الانتقاء الطبيعي
أظهر علماء النبات أن النباتات تنمو عن طريق تقسيم الخلايا في الجزء العلوي والتي تسمى meristems. يوجد في نهاية كل فرع أو غصين نسيج نسيج منفصل حيث تتشكل خلايا جديدة. بمجرد تشكيلها ، فإنها تنمو في الحجم ، لكن الخلايا الجديدة تندلع فقط في نقاط النمو هذه. تلتف الخلايا حول الجذع ، وتكافح من أجل النمو للخارج. وتنمو الخلايا في شكل حلزوني ، مثل النسيج الإنشائي الذي يدور بزاوية لإنتاج خلية جديدة ، ثم تدور مرة أخرى بنفس الزاوية لتنتج خلية جديدة ، وهكذا. قد تكون هذه الخلايا بذور جديدة ، بتلات جديدة ، براعم جديدة.
هنا يتم ترقيم الأوراق بالتسلسل ، كل منها عبارة عن 0.618 دوران في اتجاه عقارب الساعة (222.5 درجة) للأوراق السابقة.
بشكل مثير للدهشة ، تنتج زاوية الدوران الثابتة هذه تصميمًا تخطيطيًا مثاليًا بغض النظر عن حجم النباتات. في وقت مبكر من القرن الماضي ، تكهن بعض الناس أنه وفقًا لهذه الزاوية ، يمكن دائمًا إنتاج مساحة طائرة مملوءة بشكل موحد ، ولكن لم يتم إثباتها رياضياً من قبل اثنين من علماء الرياضيات الفرنسيين حتى عام 1993. سيؤدي القيام بذلك لـ 0.618 دورة إلى الحصول على التصميم الأمثل للبذور قبل أن تنفجر البذور الجديدة (أو الأوراق ، والبتلات ، وما إلى ذلك) عبر الحائط ، ولكن من أين يأتي هذا الرقم السحري 0.618؟
النسبة الذهبية φ
إذا أخذنا نسبة رقمين متتاليين في تسلسل فيبوناتشي وقسمنا على الرقم السابق ، نحصل على التسلسل التالي:
إذا قمت برسم هذه القيم بالرسم البياني ، فسترى أنها تبدو وكأنها تصل إلى حد ، وهو ما نسميه النسبة الذهبية (تُعرف أيضًا بالرقم الذهبي والقسم الذهبي).
القيمة الدقيقة لنسبة مصطلح فيبوناتشي المستمر هي (√5 + 1) / 2 (حوالي 1.618034) ، وعادة ما يتم تمثيلها بالحرف اليوناني فاي (الحرف اليوناني الكبير Φ). يتم تمثيل الجزء الكسري من Phi بالأحرف الصغيرة (الحرف اليوناني: φ) ، والقيمة الدقيقة هي (√5 - 1) / 2 ، والتي تساوي تقريبًا 0.618034. يرتبط هذا φ ارتباطًا وثيقًا بعدد اللوالب وترتيب النبات النباتي في العديد من بذور النباتات ، لذلك سنرى أيضًا φ في العديد من أنواع النباتات.
قيمة Phi غير منطقية ، وكذلك phi ، مما يعني أنه لا يمكن كتابتها في شكل كسر بسيط. دعونا نرى ما يحدث إذا تم تدوير نسيج النسيج الأساسي للنبات بواسطة بعض الأرقام البسيطة ، لنقل 1/2. بعد دورتين ، عدنا في اتجاه البذرة الأولى. مع مرور الوقت ، مع استمرار نمو البذور الجديدة في المركز ، ستدفع كل نصف دورة البذور السابقة لتشع في اتجاهين للنمو ، مما يترك مساحة للطائرات العلوية والسفلية.
قم بالتناوب بين البذور بمقدار 0.5 = 1/2 دورة: تنمو البذور بالتناوب في خط. بالتناوب بين البذور بمقدار 0.48 = 12/25 لفة: تشكل البذور مسارين حلزونيين. الضغط على 0.6 = 3/5 سوف يدور بين البذور: البذور تشكل 5 مسارات حلزونية. قم بالتناوب بين البذور على شكل دوائر: تولد البذور سبعة مسارات حلزونية. يحدث نمط مماثل مع التدوير عند قيم أخرى: إذا استمرت البذرة في الانقسام والنمو على طول مسار اللوالب القليلة العلوية ، فسيكون هناك مساحة كبيرة بينهما (عدد اللوالب هو مقام هذه النسبة). لذلك ، فإن القيمة المثلى لعدد اللوالب ستكون رقمًا غير نسبي. ولكن ليس أي رقم غير منطقي سيفي بالغرض. على سبيل المثال ، يبدو أن هناك سبعة حلزونات تنمو بقيمة ، نظرًا لأن 22/7 هو تقريب منطقي جيد لـ π.
من أجل استخدام الفراغ قدر الإمكان ، ما نحتاجه هو رقم غير منطقي لا يمكن تقريبه بأرقام منطقية قدر الإمكان.هذه النتيجة هي فاي أو فاي ، لأنهما "الأكثر لاعقلانية" من بين جميع الأرقام غير المنطقية. هذا هو السبب في أن تباين قيمة Phi يعطي أفضل تخطيط لبذور وأوراق النبات. يفسر هذا أيضًا سبب ظهور تسلسل فيبوناتشي على خط النمو الحلزوني العلوي لمجمل النبات وقرص الزهرة - تقترب نسبة أرقام فيبوناتشي المجاورة في النهاية من النسبة الذهبية بلا حدود.
فكيف اكتشفت النباتات هذا الرقم الجميل والمفيد φ؟ من الواضح أنه ليس من خلال حل الحسابات الرياضية مثل فيبوناتشي. بدلاً من ذلك ، تطورت النباتات تدريجياً وبقيت في الرقم الأكثر ملاءمة لبقائها على قيد الحياة خلال تطور مئات الملايين من السنين. يتألق إرث فيبوناتشي ليس فقط على براعم كل نبات ، ولكن أيضًا في أحد الأضواء الأكثر إبهارًا وسحرًا التي ازدهر بها عالم الرياضيات على الإطلاق.
يجمع
