أرقام فيبوناتشي:
0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 ، 377 ، 610 ، 987 ، 1597 ، 2584 ، 4141 ، 6765 ، إلخ.
رقم لوكاس:
2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، 199 ، 322 ، 521 ، 843 ، 1364 ، 2207 ، 3571 ، 5781 ، 9349 ، إلخ.
رقم الجرس:
0 ، 1 ، 2 ، 5 ، 12 ، 29 ، 70 ، 169 ، 408 ، 985 ، 2378 ، 5741 ، إلخ.
رقم بيل لوكاس:
2 ، 2 ، 6 ، 14 ، 34 ، 82 ، 198 ، 478 ، 1154 ، 2786 ، 6726 ، إلخ.
هذه كلها متتاليات معروفة في الرياضيات.
متتالية فيبوناتشي
مقدمة في تسلسل فيبوناتشي
تسلسل فيبوناتشي (يُترجم أيضًا باسم "تسلسل فيبوناتشي" أو "تسلسل فيبوناتشي") هو تسلسل جميل ومتناسق للغاية يمكن توضيح شكله من خلال سلسلة من المربعات المرتبة في لولب (مثل مخطط الدخول الأيمن) ، المربع الأولي ( هو مبين باللون الرمادي في الشكل) طول ضلعه 1 ، وطول ضلع المربع على يساره هو أيضًا 1 ، ومربع آخر أعلى هذين المربعين ، وطول ضلعه هو 2 ، ثم أضف مربعات بأطوال أضلاع 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ... وهكذا. كل رقم من هذه الأرقام يساوي مجموع العددين السابقين ، وهما يشكلان فقط تسلسل فيبوناتشي. مخترع "تسلسل فيبوناتشي" هو عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي (ولد عام 1170 بعد الميلاد وتوفي عام 1240. ربما كانت موطنه الأصلي بيزا). كان يُعرف باسم "ليوناردو بيزا". في عام 1202 ، كتب كتاب "Liber Abaci" (Liber Abaci). كان أول أوروبي يدرس نظريات الرياضيات الهندية والعربية. تم تعيين والده كقنصل دبلوماسي من قبل مجموعة أعمال في بيزا ، حيث كان يتمركز في منطقة تعادل الجزائر اليوم ، لذلك كان ليوناردو قادرًا على دراسة الرياضيات تحت إشراف معلم عربي. كما درس الرياضيات في مصر وسوريا واليونان وصقلية وبروفانس.
يشير تسلسل فيبوناتشي إلى مثل هذا التسلسل: 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ...
يبدأ التسلسل بالمصطلح الثالث ، وكل حد يساوي مجموع الحدين السابقين. صيغة المصطلح العام لها هي: (1 / √5) * {[(1 √5) / 2] ^ n - [(1-√5) / 2] ^ n} (√5 تعني الجذر التربيعي الحسابي للعدد 5) (عالم الرياضيات الفرنسي في القرن التاسع عشر ميني (جاك فيليب ماري بينيه 1786-1856)
من المثير للاهتمام أن مثل هذا التسلسل من الأعداد الطبيعية ، صيغة المصطلح العام يتم التعبير عنها في الواقع بواسطة أرقام غير منطقية.
قد يكون تسلسل فيبوناتشي الشهير مرتبطًا أيضًا بكاتب التشويق الأمريكي دان براون ، الذي استخدم بذكاء التسلسل في روايته "شفرة دافنشي".
في الواقع ، تم ذكر مثلث Yang Hui في كتب المدرسة الثانوية الحالية في بلدنا ، ويمكن العثور على تسلسل فيبوناتشي فيه.
⋙ ظهور متوالية فيبوناتشي
في بداية القرن الثالث عشر ، كان فيبوناتشي أفضل عالم رياضيات في أوروبا ؛ كتب كتابًا بعنوان "كتاب العداد" ، والذي كان أفضل كتاب رياضيات في أوروبا في ذلك الوقت. هناك العديد من مسائل الرياضيات المثيرة للاهتمام في الكتاب ، وأكثرها إثارة للاهتمام هو ما يلي:
"إذا كان بإمكان زوج من الأرانب أن يلد زوجًا واحدًا من الأرانب الصغيرة كل شهر ، ويمكن لكل زوج من الأرانب الصغيرة أن يلد زوجًا آخر من الأرانب الصغيرة في الشهر الثالث بعد ولادته ، بافتراض عدم وجود موت ، سيكون هناك زوج واحد من الأرانب الصغيرة. بدءًا من أرنب حديث الولادة ، كم عدد أزواج الأرانب التي يمكن تربيتها بعد عام واحد؟ "
رتبت فيبوناتشي أول عدد قليل من الأرقام المحسوبة في سلسلة: 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ...
هناك قاعدة ضمنية في سلسلة الأرقام هذه: بدءًا من الرقم الثالث ، يكون كل رقم لاحق هو مجموع الرقمين السابقين. وفقًا لهذا القانون ، طالما تم إجراء بعض الإضافات البسيطة ، يمكن حساب عدد الأرانب في كل شهر.
لذلك ، فإن الأرقام المحسوبة وفقًا لهذا القانون تشكل تسلسلًا مشهورًا في تاريخ الرياضيات. يسميها الجميع "تسلسل فيبوناتشي" ، المعروف أيضًا باسم "تسلسل الأرانب". هذا التسلسل له العديد من الخصائص المميزة ، على سبيل المثال ، بدءًا من الرقم الثالث ، تكون نسبة كل رقم إلى الرقم بعده قريبة جدًا من 0.618 ، وهو ما يتوافق مع "قانون القسم الذهبي" الشهير. اكتشف الناس أيضًا أنه حتى قوانين النمو لبعض الكائنات الحية يمكن وصفها بهذا التسلسل وفقًا لافتراضات معينة.
فيشر نفسه لم يناقش هذا التسلسل أكثر. لم يدرسه الناس بالتفصيل حتى بداية القرن التاسع عشر. حوالي عام 1960 ، كان العديد من علماء الرياضيات مهتمين جدًا بتسلسل فيبوناتشي والظواهر ذات الصلة. لم يؤسسوا مجتمع فيبوناتشي فحسب ، بل أنشأوا أيضًا منشورات ذات صلة. مثل أرانب فيبوناتشي.
أصل وعلاقة متوالية فيبوناتشي
يأتي تسلسل فيبوناتشي من مشكلة الأرنب ، وله علاقة متكررة ،
و (1) = 1
و (2) = 1
و (ن) = و (ن -1) و (ن -2) ، حيث ن> = 2
{f (n)} هي متوالية فيبوناتشي.
⋙ صيغة تسلسل فيبوناتشي
صيغة المصطلح العام لها هي: {[(1 + √5) / 2] ^ n - [(1 － √5) / 2] ^ n} / √5 (ملاحظة: √5 تعني رقم الجذر 5)
⋙ بعض خصائص متتالية فيبوناتشي
1) ، f (n) f (n) -f (n 1) f (n-1) = (- 1) ^ n ؛
2) ، و (1) و (2) و (3) ... و (ن) = و (ن 2) -1
3) ، arctan [1 / f (2n 1)] = arctan [1 / f (2n 2)] arctan [1 / f (2n 3)]
وجود تسلسل فيبوناتشي】
يمكن القول أن متتالية فيبوناتشي موجودة في كل مكان ، وإليك بعض الأمثلة الشائعة:
مجموع الأرقام على قطري مثلث يانغ هوي يشكل تسلسل فيبوناتشي.
بطاقات الدومينو (التي يمكن رؤيتها كمربع 2 × 1) تغطي لوحة n × 2 بالكامل ، وعدد المخططات المغطاة يساوي تسلسل فيبوناتشي.
من منظور تكاثر النحل ، فإن الأندراجون لديه أم فقط وليس له أب ، لأن البيض الذي تضعه ملكة النحل ، والبويضات المخصبة تفقس في إناث النحل ، والبيض غير المخصب يفقس في الأندروجينات. عندما يتتبع الناس أسلاف Xiongfeng ، فإنهم يجدون أن عدد أسلاف الجيل التاسع من Xiongfeng هو مجرد المصطلح التاسع Fn من تسلسل فيبوناتشي.
ترتيب المقاييس اللونية الـ 13 للبيانو مشابه تمامًا لترتيب الجيل السادس من Xiongfeng ، مما يشير إلى أن النغمة مرتبطة أيضًا بتسلسل فيبوناتشي.
يتوافق عدد بتلات بعض الزهور في الطبيعة مع تسلسل فيبوناتشي ، أي في معظم الحالات ، يكون عدد بتلات الزهرة 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، ... (هناك 6 هناك مجموعتان من 3 قطع ؛ 4 قطع قد تكون طفرات جينية).
إذا كان الفرع ينمو فرعًا جديدًا كل عام ، وينمو الفرع الجديد فرعًا جديدًا كل عام بعد عامين ، فإن عدد الفروع على مر السنين يمثل أيضًا تسلسل فيبوناتشي.
【تسلسل فيبوناتشي والقسم الذهبي】
ما العلاقة بين متوالية فيبوناتشي والقسم الذهبي؟ وجد من خلال البحث أن نسبة رقمين متجاورين فيبوناتشي تميل تدريجياً إلى النسبة الذهبية مع زيادة الرقم التسلسلي. أي ، f (n- 1) / f (n) - → 0.618 .... نظرًا لأن أرقام فيبوناتشي كلها أعداد صحيحة ، فإن حاصل قسمة عددين صحيحين هو رقم منطقي ، لذلك فهو يقترب تدريجيًا فقط من الرقم غير المنطقي للنسبة الذهبية. ولكن عندما نستمر في حساب أرقام فيبوناتشي الأكبر لاحقًا ، سنجد أن نسبة رقمين متجاورين قريبة جدًا بالفعل من النسبة الذهبية.
ليس فقط "أرقام فيبوناتشي" التي تبدأ من 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ... هي هكذا ، اختر عددين بشكل عشوائي ، ثم رتبهم وفقًا لقواعد أرقام فيبوناتشي ، النسبة بين العددين. ستقترب أيضًا تدريجيًا من النسبة الذهبية.
مثلث تسلسل بادوا
[متغير تسلسل فيبوناتشي]
1. تسلسل بادوا: 1 ، 1 ، 1 ، 2 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 9 ، 12 ، 16 ، 21 ، ... هذا التسلسل يسمى سلسلة بادوا. إنه مشابه جدًا لتسلسل فيبوناتشي ، إلا أنه يتم الحصول على كل رقم عن طريق تخطي الرقم قبله وإضافة الرقمين قبله. يمكن تمثيل سلسلة الأرقام هذه بصورة أخرى ، تتكون من بعض المثلثات متساوية الأضلاع (كما هو موضح على اليمين). يظهر المثلث الأول باللون الرمادي. ولجعل هذه المثلثات متلائمة مع بعضها البعض بسلاسة ، يكون أطوال أضلاع المثلثات الثلاثة الأولى 1 ، والمثلثين التاليين أطوال أضلاعهما 2 ، ثم 3 ، و 4 ، و 5 ، و 7 على التوالي . ، 9 ، 12 ، 16 ، 2 لتر ... إلخ.
2. يحتوي Dongdong على 15 قطعة من الحلوى ، إذا أكل 3 قطع على الأقل في اليوم حتى نفاد الكمية ، فكم عدد الطرق المختلفة لأكلها؟
إذا كان لدى Dongdong 3 حلوى أو 4 حلوى أو 5 حلوى ، فهناك طريقة واحدة فقط لتناولها ؛ وإذا كان هناك 6 حلوى ، فهناك طريقتان لتناولها ؛ وإذا كان هناك 7 حلوى ، فهناك 3 طرق لتناولها ؛ إذا كان هناك 6 حلوى ، فهناك طريقتان لتناولها ؛ إذا كان هناك 8 حلوى ، فهناك 4 طرق لتناولها ؛ وإذا كان هناك 9 قطع من الحلوى ، فهناك 6 طرق لتناولها.
أي عدد حبات الحلوى: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. ．．
كيف تأكل السكر: 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19. ．．
يختلف هذا التسلسل عن تسلسل فيبوناتشي من حيث أنه يتخطى الرقم في المنتصف في كل مرة ، ثم يضيف الرقمين الأول والثالث معًا ليساوي الرقم الرابع. قوانينه متشابهة ومختلفة عن تسلسل فيبوناتشي.
3. شياو مينغ يريد أن يصعد الدرج ، يمكنه أن يصعد خطوة أو خطوتين أو ثلاث درجات في المرة الواحدة ، إذا كان الدرج يحتوي على 10 درجات ، فكم عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يمشي بها؟
هنا يمكننا أيضًا دراسة القواعد: إذا كان الدرج يحتوي على مستوى واحد فقط ، فلديه طريقة واحدة للمشي ؛ إذا كان الدرج يحتوي على درجتين ، فلديه طريقتان للمشي ؛ إذا كان الدرج يحتوي على ثلاث درجات ، فلديه 4 طرق المشي ؛ إذا كان هناك خمسة درجات ، فلديه 7 طرق للمشي.
أي عدد درجات السلم: 1 2 3 4 5 6 7 8. ．．
كيفية صعود الدرج: 1 2 4 7 13 24 44 81. ．．
القاعدة هنا هي أنه بدءًا من الرقم الرابع هنا ، فإن كل رقم يساوي مجموع الأرقام الثلاثة التي تسبقه.
[هذا التسلسل له العديد من الخصائص الرائعة]
على سبيل المثال: مع زيادة عدد عناصر التسلسل ، تكون نسبة العنصر السابق إلى العنصر التالي أقرب إلى القسم الذهبي 0.6180339887 ... (نسبة العنصر الأخير إلى العنصر السابق هي 1.6180339887 ...)
هناك خاصية أخرى ، بدءًا من المصطلح الثاني ، حيث يكون مربع كل مصطلح فردي أكبر بمقدار 1 من حاصل ضرب المصطلحين السابقين ، ومربع كل حد زوجي أقل بمقدار 1 من حاصل ضرب المصطلحين السابقين.
إذا رأيت مثل هذا الموضوع: شخص ما يقطع مربع 8 * 8 إلى أربع قطع ويجمعها معًا في مستطيل 5 * 13 ، ويسألك في مفاجأة: لماذا 64 = 65؟ في الواقع ، يتم استخدام خاصية متتالية فيبوناتشي هذه: 5 و 8 و 13 هي العناصر الثلاثة المتجاورة في التسلسل. في الواقع ، تختلف مساحات الكتلتين قبل وبعد الكتلتين بالفعل بمقدار 1 ، ولكن هناك مساحة ضئيلة خط في الشكل خلف الشق ليس من السهل على الناس العاديين ملاحظته.
إذا اخترت رقمين بشكل عشوائي كنقطة البداية ، مثل 5 ، -2.4 ، ثم جمعت العنصرين معًا لتكوين 5 ، -2.4 ، 2.6 ، 0.2 ، 2.8 ، 3 ، 5.8 ، 8.8 ، 14.6 ... إلخ. ، سوف يتبين أنه مع تطور التسلسل ، فإن نسبة المصطلحين قبل وبعد المصطلحين تقترب من القسم الذهبي ، والفرق بين مربع مصطلح معين وحاصل ضرب المصطلحين قبل و بعد يختلف بالتناوب بقيمة معينة.
يمثل العنصر التاسع من تسلسل فيبوناتشي أيضًا عدد جميع المجموعات الفرعية في المجموعة {1،2 ، ... ، ن} التي لا تحتوي على أعداد صحيحة موجبة مجاورة.
【الاسم المستعار لتسلسل فيبوناتشي】
تم تقديم تسلسل فيبوناتشي بواسطة عالم الرياضيات ليوناردو فيبوناتشي مع مثال تربية الأرانب ، لذلك يطلق عليه أيضًا "تسلسل الأرانب".
بشكل عام ، تمتلك الأرانب القدرة على التكاثر بعد شهرين من الولادة ، ويمكن لزوج من الأرانب أن يلد زوجًا من الأرانب الصغيرة كل شهر. إذا لم يمت أي من الأرانب ، فكم عدد أزواج الأرانب التي يمكن تربيتها في عام واحد؟ دعنا نحلل زوجًا من الأرانب المولودة حديثًا:
في الشهر الأول ، لا يمتلك الأرنب القدرة على الإنجاب ، لذا فهو لا يزال زوجًا ؛
بعد شهرين ولد زوجان من الأرانب.
بعد ثلاثة أشهر ، أنجب الأرنب العجوز زوجًا آخر ، لأن الأرانب الأصغر سنًا لم تتمكن بعد من التكاثر ، لذلك هناك ثلاثة أزواج في المجموع ؛
－－－－－
عن طريق القياس ، يمكن إدراج الجدول التالي:
الأشهر المنقضية: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
أزواج الأرانب: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89144233
الأرقام 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 في الجدول - تشكل سلسلة من الأرقام. يرتبط تسلسل الأرقام هذا بميزة واضحة جدًا ، وهي: يشكل مجموع العنصرين المتجاورين السابقين العنصر الأخير.
تم اقتراح هذا التسلسل من قبل عالم الرياضيات الإيطالي في العصور الوسطى فيبوناتشي في "The Complete Book of Abacus". يمكن أيضًا استخدام صيغة المصطلح العام لهذه السلسلة ، بالإضافة إلى امتلاك خاصية a (n 2) = an a (n 1) / ، إثبات أن صيغة المصطلح العام هي: an = 1 / √ [(1 + √5 / 2) n- (1-√5 / 2) n] (n = 1،2،3 .....)
تسلسل لوكاس
هناك علاقة كبيرة بين Lucas Sequence و Fibonacci Sequence.
حدد أولاً الأعداد الصحيحة P و Q بحيث يكون D = P2 - 4Q> 0 ،
وهكذا نحصل على معادلة x2 - Px Q = 0 ، جذورها أ ، ب ،
يتم تعريف تسلسل Lucas الآن على النحو التالي:
Un (P، Q) = (an - bn) / (ab) و Vn (P، Q) = bn
حيث n عدد صحيح غير سالب ، U0 (P، Q) = 0، U1 (P، Q) = 1، V0 (P، Q) = 2، V1 (P، Q) = P، ...
لدينا الهويات التالية المتعلقة بأرقام لوكاس:
Um n = UmVn - anbnUm-n ، Vm n = VmVn - anbnVm-n
Um 1 = P * Um - Q * Um-1 、 Vm 1 = P * Vm - Q * Vm-1 (n = 1)
U2n = UnVn ، V2n = Vn2 - Qn
U2n 1 = Un 1Vn - Qn ، V2n 1 = Vn 1Vn - PQn
إذا كان (P ، Q) = (1 ، -1) ، لدينا Un كرقم فيبوناتشي ،
أي 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 ، 377 ، 610 ، 987 ، 1597 ، 2584 ، 4141 ، 6765 ، إلخ.
و V هو رقم لوكاس ،
أي 2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، 199 ، 322 ، 521 ، 843 ، 1364 ، 2207 ، 3571 ، 5781 ، 9349 ، إلخ.
إذا كان (P ، Q) = (2 ، -1) ، لدينا Un كرقم Pell ،
أي 0 ، 1 ، 2 ، 5 ، 12 ، 29 ، 70 ، 169 ، 408 ، 985 ، 2378 ، 5741 ، إلخ.
و Vn هو رقم Pell-Lucas (رقم Pell-Lucas) (راجع مقال آخر "Pell Sequence" للحصول على التفاصيل) ،
أي 2 ، 2 ، 6 ، 14 ، 34 ، 82 ، 198 ، 478 ، 1154 ، 2786 ، 6726 ، إلخ.
هذه كلها متتاليات معروفة في الرياضيات.
خصائص أرقام لوكاس
أرقام لوكاس (المختصرة كـ Ln) لها العديد من الخصائص المشابهة لأرقام فيبوناتشي. مثل Ln = Ln-1 Ln-2 ، حيث يكون الاختلاف هو أن L1 = 1 ، L2 = 3.
إذن أرقام لوكاس هي: 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، ...... (OEIS A000204) ، الأرقام المربعة هي 1 و 4 فقط ، والتي يتم تحديدها بواسطة Proven بواسطة John HE Cohn. والأعداد الأولية ، أي الأعداد الأولية لوكاس (لوكاس برايم) هي: 3 ، 7 ، 11 ، 29 ، 47 ، ....... من بينها ، من المعروف أن أكبر عدد أولي محتمل (رئيس محتمل) هو L574219 ، والذي يحتوي على ما يصل إلى 120،005 رقمًا.
لدينا الهويات التالية المتعلقة بأرقام لوكاس:
Ln2 - Ln-1Ln 1 = 5 (-1) ن
L12 L22 ...... Ln2 = LnLn 1-2
Lm n = (5FmFn LmLn) / 2 (حيث Fn هو رقم فيبوناتشي)
Lm-n = (-1) n (LmLn - 5FmFn) / 2
Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1) ن
يجمع
