Fibonacci, seorang ahli matematik Itali dari Republik Eropah Pisa zaman pertengahan, dianggap "ahli matematik Barat yang paling berbakat" pada zamannya. Tetapi kami memanggilnya begitu sekarang, mungkin untuk mengecewakan lelaki itu sendiri, Leonardo Pisano. Apa yang mengejutkannya ialah urutan Fibonacci yang dinamakan olehnya yang paling banyak diperkatakan oleh dunia: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., bukan pencapaian Matematiknya yang lebih besar - pengenalan nilai tempat sistem tatatanda untuk angka Arab dan pengganda ke Eropah.
Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci
Empayar Rom Suci meninggalkan Eropah dengan sistem angka Rom, dan kita masih boleh melihat ungkapan "2013 ialah MMXIII" dalam notis hak cipta kebanyakan filem hari ini. Angka Rom tidak digantikan dengan angka Arab sehingga pertengahan abad ke-13 Masihi. Buku Leonardo Pisano Liber Abaci adalah antara buku Barat pertama yang mengesyorkan penggantian angka Rom dengan angka Arab.
Leonardo Pisano dilahirkan di Pisa, Itali pada penghujung abad ke-12, jadi orang juga memanggilnya Leonardo of Pisa. Pisano, dalam bahasa Itali bermaksud dia dari Pisa, sama seperti Manchester bermaksud dari Manchester. Bapa Leonardo bernama Guglielmo Bonaccio. Berabad-abad kemudian, apabila para sarjana sedang mengkaji salinan manuskrip Kitab Pengiraan (kerana ia diterbitkan sebelum penciptaan percetakan), mereka salah faham sebahagian daripada tajuk - "filius Bonacci" (bermaksud Anak Bonaccio) Singkatan Fibonacci ditafsirkan sebagai nama keluarganya, jadi ahli matematik hebat yang kami panggil "Fibonacci" diturunkan dari kesilapan ini hingga ke hari ini.
Fibonacci (sebut saja dia) menghabiskan masa kecilnya di Afrika Utara, dididik oleh Moor, di Barbary (Algeria), mengembara secara meluas, dan kemudiannya dihantar ke Mesir, Syria, Greece, Sicily Travel ke Provence. Sekembalinya ke Pisa pada 1200 AD, dia menggunakan apa yang telah dipelajarinya dalam pengembaraannya untuk menulis Buku Pengiraan (diterbitkan pada 1202). Dalam buku inilah beliau memperkenalkan sistem angka Indo-Arab ke dalam dunia berbahasa Latin ketika itu. Pada permulaan bab pertama bahagian pertama buku itu tertulis:
"Berikut ialah sembilan nombor di India: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Menggunakan sembilan nombor ini, ditambah dengan simbol 0 (dipanggil zephiroum dalam bahasa Arab), kita boleh menukar sebarang nombor seperti Tuliskannya seperti ini."
Itali pada masa itu terdiri daripada negara kota dan wilayah kecil yang bebas, yang membawa kepada penggunaan pelbagai ukuran dan sistem mata wang. Apabila pedagang berdagang antara sistem yang berbeza, mereka terpaksa menukar dari satu sistem ke sistem yang lain, dan kaedah pengiraan angka Rom mundur secara serius menghalang tingkah laku perniagaan. Fibonacci menulis "Buku Pengiraan" untuk pedagang ini, yang menangani sejumlah besar isu praktikal dan menunjukkan betapa mudah dan cekap perniagaan boleh dijalankan dengan sistem nombor baharu ini berbanding dengan angka Rom dan pengiraan matematik yang kekok. Menyebarkan pengaruh nombor perpuluhan melalui buku Fibonacci adalah pencapaian matematik terbesarnya. Walau bagaimanapun, saya terkenal di dunia kerana urutan Fibonacci yang disenaraikan dalam "Buku Pengiraan".
Masalah arnab Fibonacci
Salah satu masalah matematik yang dikaji oleh Fibonacci dalam "Buku Pengiraan"nya ialah mengenai kadar pembiakan arnab dalam keadaan yang ideal. Katakan sepasang arnab yang baru lahir, jantan dan betina, dilepaskan ke ladang untuk diternak. Arnab boleh mengawan apabila berumur satu bulan, supaya pada akhir bulan kedua, arnab betina boleh menghasilkan sepasang lagi. Dengan mengandaikan arnab tidak pernah mati, arnab betina akan melahirkan sepasang arnab baru (seorang jantan, seekor betina) setiap bulan bermula pada bulan kedua. Persoalan yang ditimbulkan oleh Fibonacci ialah. Berapakah jumlah pasang arnab selepas satu tahun?
· Pada akhir bulan pertama, mereka mengawan, tetapi masih ada sepasang sahaja.
· Pada penghujung bulan kedua, arnab betina telah melahirkan sepasang bayi baru, jadi kini terdapat 2 pasang arnab.
· Pada akhir bulan ketiga, betina asal menghasilkan pasangan kedua, dengan jumlah 3 pasang.
· Pada penghujung bulan keempat, betina asal menghasilkan pasangan baru, dan wanita generasi kedua, lahir dua bulan lebih awal, juga menghasilkan pasangan pertamanya, dengan jumlah lima pasang arnab sekarang.
Sekarang andaikan terdapat x_n pasang arnab selepas n bulan. Maka bilangan arnab yang akan berada dalam n+1 bulan ialah x_n sepasang arnab, (arnab tidak akan mati) ditambah dengan sepasang yang baru dilahirkan. Tetapi pasangan baru hanya dilahirkan apabila mereka berumur sekurang-kurangnya satu bulan, jadi akan ada x_(n-1) pasang arnab baru. jadi kita ada
Itu hanya peraturan untuk menjana jujukan Fibonacci: tambah dua sebutan terakhir untuk mendapatkan sebutan seterusnya. Seterusnya, anda dapati selepas 12 bulan, akan ada 233 pasang arnab.
Malah, lebih baik menggunakan lebah sebagai contoh.
Masalah arnab jelas adalah tiruan, tetapi jujukan Fibonacci memang muncul dalam populasi sebenar dalam alam semula jadi, dan lebah adalah contohnya. Dalam koloni lebah, terdapat sejenis betina khas yang dipanggil ratu lebah. Semua betina lain adalah lebah pekerja, dan lebah pekerja tidak bertelur. Lebah jantan tambahan tidak berfungsi dan dipanggil dron.
Drone itu dihasilkan daripada telur ratu lebah yang tidak disenyawakan, jadi ia hanya mempunyai ibu dan tiada bapa. Dan semua betina dihasilkan apabila ratu lebah mengawan dengan jantan. Jadi lebah betina mempunyai ibu bapa, jantan dan betina, manakala lebah jantan hanya mempunyai seorang ibu iaitu betina.
Sekarang mari kita lihat salasilah dron di atas dari bawah ke atas dan lihat jujukan Fibonacci sekali lagi.
Lingkaran dan KerangPopulasi lebah bukan satu-satunya tempat di alam semula jadi di mana nombor Fibonacci muncul, ia juga muncul dalam bentuk lingkaran yang indah bagi cangkerang. Kita boleh lihat animasi di bawah, bermula dengan dua petak kecil bersaiz 1. Lukis petak bersaiz 2 (=1+1) di atas dua petak kecil ini. Kita kini boleh melukis segi empat sama baharu - satu yang berpaut pada kedua-dua segi empat sama satu unit dan sisi segi empat sama baharu kedua, jadi sisi-sisinya adalah 3 unit panjang; kemudian satu lagi yang berpaut pada kedua-dua 2 segi empat sama dan 3 segi empat sama (ia mempunyai 5 sisi unit. ). Kita boleh terus menambah petak di sekeliling gambar, setiap petak baru mempunyai sisi yang panjangnya sama dengan jumlah sisi dua petak yang terdekat. Panjang sisi set segi empat tepat ini ialah dua nombor Fibonacci bersebelahan, yang kita panggil segi empat tepat emas.
Jika kita sekarang melukis suku bulatan pada setiap petak, kita boleh melukis lingkaran. Lebih tepatnya, lingkaran ini bukan lingkaran matematik sebenar (kerana ia terdiri daripada segmen arka bulat, dan jejari tidak akan menjadi lebih kecil dan lebih kecil), tetapi ia boleh menjadi penghampiran yang sangat baik kepada bentuk lingkaran yang sering muncul di alam semula jadi , seperti siput dan cengkerang. Dalam imej di bawah, keratan rentas cangkerang marin menunjukkan lengkung heliks cangkerang itu.
Urutan Fibonacci juga muncul dalam kelopak dan sepal tumbuhan. Sesetengah tumbuhan juga tumbuh dengan cara ini, seperti bunga aster boleh mempunyai 34, 55, dan juga sebanyak 89 kelopak! Juga, susunan yang sangat ajaib dan indah ialah heliks dalam tunas. Pada kali berikutnya anda melihat bunga matahari, lihat dengan teliti susunan benih di dalam pasu bunga dan anda akan dapati bahawa dua set lingkaran, satu pergi mengikut arah jam ke kanan dan satu lawan jam ke kiri, tertanam di antara satu sama lain, tumbuh dalam ini. susunan.
Lihat tepi gambar bunga matahari di atas, jika anda mengira lengkungan biji yang melingkar ke kiri semasa anda keluar, terdapat 55 lingkaran. Pada titik yang sama, terdapat 34 biji heliks berpusing ke kanan. Jauh sedikit di tengah, anda boleh mengira 34 lingkaran ke kiri dan 21 ke kanan. Dalam jujukan Fibonacci, pasangan nombor (nombor lingkaran melengkung kiri dan melengkung kanan) sentiasa bersebelahan (seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah).
Begitu juga dengan banyak biji dan putik bunga di alam semula jadi. Alasannya seolah-olah struktur ini membentuk susunan benih yang optimum, sehingga tidak kira berapa besar biji benih, ia diagihkan sama rata pada mana-mana peringkat, semua benih adalah saiz yang sama, bahagian tengah tidak sesak, tepinya. tidak terlalu jarang, dan cakera adalah yang paling kuat.
Alam semula jadi nampaknya menggunakan corak yang sama untuk membalut kelopak di sekeliling tepi bunga dan mengedarkan daun di sekeliling batang. Lebih-lebih lagi, struktur ini dikekalkan sepanjang pertumbuhan berterusan tumbuhan! Jadi bagaimanakah tumbuhan mengekalkan ini secara optimum?
Pertumbuhan emas melalui pemilihan semula jadi
Ahli botani telah menunjukkan bahawa tumbuhan tumbuh dengan membahagikan sel di bahagian atas yang dipanggil meristem. Di hujung setiap cabang atau ranting terdapat meristem yang berasingan di mana sel-sel baru terbentuk. Setelah terbentuk, mereka membesar dalam saiz, tetapi sel-sel baru hanya keluar pada titik pertumbuhan tersebut. Sel-sel membungkus batang, bergelut untuk tumbuh ke luar. Dan, sel-sel tumbuh dalam lingkaran, seperti meristem yang berputar pada sudut untuk menghasilkan sel baru, berputar semula pada sudut yang sama untuk menghasilkan sel baru, dan seterusnya. Sel-sel ini mungkin benih baru, kelopak baru, pucuk baru.
Di sini daun dinomborkan secara berurutan, setiap satu ialah 0.618 putaran mengikut arah jam (222.5°) daripada yang sebelumnya.
Hebatnya, sudut putaran tetap seperti itu menghasilkan reka bentuk susun atur yang optimum tidak kira betapa besarnya tumbuhan itu. Seawal abad yang lalu, sesetengah orang membuat spekulasi bahawa mengikut sudut ini, ruang satah yang dipenuhi seragam sentiasa boleh dihasilkan, tetapi ia tidak dibuktikan secara matematik oleh dua ahli matematik Perancis sehingga tahun 1993. Melakukan ini untuk putaran 0.618 akan menghasilkan susun atur benih yang optimum sebelum benih baharu (atau daun, kelopak, dll.) pecah melalui dinding, tetapi dari manakah datangnya nombor ajaib 0.618 itu?
Nisbah emas φ
Jika kita mengambil nisbah dua nombor berturut-turut dalam jujukan Fibonacci dan membahagikan dengan nombor sebelumnya, kita mendapat jujukan berikut:
Jika anda membuat graf nilai ini, anda akan melihat bahawa nilai tersebut nampaknya mencapai had, yang kami panggil nisbah emas (juga dikenali sebagai nombor emas dan bahagian emas).
Nilai tepat nisbah bagi istilah Fibonacci berterusan ialah (√5 + 1)/2 (kira-kira 1.618034), biasanya diwakili oleh huruf Yunani Phi (huruf Yunani besar Φ). Bahagian pecahan Phi diwakili oleh huruf kecil phi (huruf Yunani: φ), dan nilai tepatnya ialah (√5 - 1)/2, iaitu lebih kurang sama dengan 0.618034. φ ini lebih berkait rapat dengan bilangan heliks dan susunan phyllotaxy dalam banyak biji tumbuhan, jadi kita juga akan melihat φ dalam pelbagai jenis tumbuhan.
Nilai Phi adalah tidak rasional, dan begitu juga phi, yang bermaksud ia tidak boleh ditulis dalam bentuk pecahan mudah. Mari kita lihat apa yang berlaku jika meristem tumbuhan diputarkan oleh beberapa nombor yang lebih mudah, katakan 1/2. Selepas dua putaran, kami kembali ke arah benih pertama. Apabila masa berlalu, apabila benih baru terus tumbuh di tengah, setiap pusingan separuh akan menolak benih sebelumnya untuk memancar dalam dua arah pertumbuhan, meninggalkan ruang untuk satah atas dan bawah.
Putar antara biji sebanyak 0.5=1/2 pusingan: biji benih tumbuh secara bergilir-gilir. Berputar antara biji sebanyak 0.48=12/25 pusingan: biji membentuk dua laluan heliks. Menekan 0.6=3/5 akan berputar di antara benih: benih membentuk 5 laluan heliks. Putar antara biji dengan π bulatan: Benih menjana tujuh laluan heliks. Corak yang sama berlaku dengan putaran pada nilai lain: jika benih terus membelah dan berkembang di sepanjang laluan beberapa lingkaran atas, akan terdapat banyak ruang di antara mereka (bilangan lingkaran adalah penyebut nisbah ini) . Oleh itu, nilai optimum untuk bilangan lingkaran akan menjadi nombor tidak rasional. Tetapi tidak ada nombor yang tidak rasional akan berlaku. Sebagai contoh, nampaknya terdapat tujuh lingkaran yang tumbuh dengan nilai π, kerana 22/7 ialah penghampiran rasional yang baik kepada π.
Untuk menggunakan ruang sebanyak mungkin, apa yang diperlukan ialah nombor tak rasional yang tidak boleh dianggarkan dengan nombor rasional sebanyak mungkin. Keputusan ini adalah Phi atau phi, kerana ia adalah "paling tidak rasional" daripada semua nombor tak rasional. Itulah sebabnya variasi nilai Phi memberikan susun atur terbaik benih dan daun tumbuhan. Ini juga menerangkan sebab jujukan Fibonacci muncul pada garis pertumbuhan lingkaran atas phyllotaxy dan cakera bunga - nisbah nombor Fibonacci bersebelahan akhirnya menghampiri nisbah emas tanpa terhingga.
Jadi bagaimanakah tumbuhan menemui nombor φ yang cantik dan berguna ini? Jelas sekali bukan dengan menyelesaikan pengiraan matematik seperti Fibonacci. Sebaliknya, tumbuh-tumbuhan telah berkembang secara beransur-ansur dan kekal pada bilangan yang paling sesuai untuk kelangsungan hidup mereka sendiri semasa evolusi ratusan juta tahun. Warisan Fibonacci bersinar bukan sahaja pada tunas setiap tumbuhan, tetapi juga dalam salah satu lampu yang paling mempesonakan dan menawan yang dunia matematik pernah berkembang.
Mengumpul
