Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีแห่งสาธารณรัฐปิซาในยุคกลางของยุโรป ได้รับยกย่องว่าเป็น "นักคณิตศาสตร์ตะวันตกที่มีความสามารถมากที่สุด" ในยุคนั้น แต่ตอนนี้เรากำลังเรียกเขาว่า เลโอนาร์โด ปิซาโน อาจทำให้ชายคนนั้นตกใจกลัว สิ่งที่ทำให้เขาประหลาดใจก็คือลำดับฟีโบนัชชีที่เขาได้รับการกล่าวถึงมากที่สุดในโลก: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... ไม่ใช่ความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่กว่าของเขา - การแนะนำค่าประจำตำแหน่ง ระบบสัญกรณ์สำหรับเลขอารบิคและตัวคูณไปยังยุโรป
เลโอนาร์โด โบนัชชี เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี
จักรวรรดิโรมันอันศักดิ์สิทธิ์ออกจากยุโรปด้วยระบบเลขโรมัน และเรายังเห็นคำว่า "2013 is MMXIII" ในประกาศเกี่ยวกับลิขสิทธิ์ของภาพยนตร์หลายเรื่องในปัจจุบัน เลขโรมันไม่ได้ถูกแทนที่ด้วยเลขอารบิกจนถึงกลางคริสต์ศตวรรษที่ 13 หนังสือ Liber Abaci ของเลโอนาร์โด ปิซาโน เป็นหนึ่งในหนังสือตะวันตกเล่มแรกๆ ที่แนะนำให้เปลี่ยนเลขโรมันเป็นเลขอารบิค
Leonardo Pisano เกิดที่เมืองปิซา ประเทศอิตาลี เมื่อปลายศตวรรษที่ 12 ผู้คนจึงเรียกเขาว่า Leonardo of Pisa ปิซาโนในภาษาอิตาลีแปลว่าเขามาจากปิซา เช่นเดียวกับที่แมนเชสเตอร์แปลว่ามาจากแมนเชสเตอร์ พ่อของ Leonardo ชื่อ Guglielmo Bonaccio หลายศตวรรษต่อมา เมื่อนักวิชาการกำลังศึกษาสำเนาต้นฉบับของ Book of Calculation (เนื่องจากได้รับการตีพิมพ์ก่อนการพิมพ์) พวกเขาเข้าใจผิดส่วนหนึ่งของชื่อ - "filius Bonacci" (หมายถึงบุตรของ Bonaccio) ตัวย่อ Fibonacci ถูกตีความว่าเป็น นามสกุลของเขา ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่เราเรียกว่า "ฟีโบนัชชี" จึงสืบทอดจากข้อผิดพลาดนี้มาจนถึงทุกวันนี้
Fibonacci (ขอเรียกเขาว่าต่อไป) ใช้ชีวิตวัยเด็กในแอฟริกาเหนือ ได้รับการศึกษาจากชาวทุ่งใน Barbary (แอลจีเรีย) เดินทางอย่างกว้างขวาง และต่อมาถูกส่งไปยังอียิปต์ ซีเรีย กรีซ ซิซิลี เดินทางไปโพรวองซ์ เมื่อเขากลับมาที่ปิซาในปี ค.ศ. 1200 เขาใช้สิ่งที่เขาเรียนรู้จากการเดินทางเขียนหนังสือการคำนวณ (จัดพิมพ์ในปี 1202) ในหนังสือเล่มนี้เขาได้แนะนำระบบตัวเลขอินโด-อารบิกในโลกที่ใช้ภาษาละตินในขณะนั้น ในตอนต้นของบทแรกของส่วนแรกของหนังสือเล่มนี้เขียนไว้ว่า:
"ต่อไปนี้เป็นเลขเก้าตัวในอินเดีย: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 การใช้เลขเก้าตัวนี้บวกกับสัญลักษณ์ 0 (เรียกว่า zephiroum ในภาษาอารบิก) เราสามารถแปลงเลขอะไรก็ได้ เช่น เขียนลงไปแบบนี้"
อิตาลีในเวลานั้นประกอบด้วยนครรัฐและภูมิภาคอิสระเล็กๆ ซึ่งนำไปสู่การใช้ระบบหน่วยวัดและสกุลเงินที่หลากหลาย เมื่อพ่อค้าทำการซื้อขายระหว่างระบบต่างๆ พวกเขาถูกบังคับให้เปลี่ยนจากระบบหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง และวิธีการคำนวณเลขโรมันแบบย้อนกลับก็ขัดขวางพฤติกรรมทางธุรกิจอย่างจริงจัง Fibonacci ได้เขียน "Book of Calculations" สำหรับผู้ค้าเหล่านี้ ซึ่งจัดการกับปัญหาในทางปฏิบัติจำนวนมาก และแสดงให้เห็นว่าสามารถดำเนินธุรกิจที่เรียบง่ายและมีประสิทธิภาพได้อย่างไรด้วยระบบตัวเลขใหม่นี้ เมื่อเทียบกับเลขโรมันและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่งุ่มง่าม การกระจายอิทธิพลของเลขทศนิยมผ่านหนังสือ Fibonacci คือความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเขา อย่างไรก็ตาม ฉันเป็นที่รู้จักไปทั่วโลกเพราะลำดับฟีโบนัชชีที่ระบุไว้ใน "หนังสือการคำนวณ"
ปัญหากระต่ายของ Fibonacci
หนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ Fibonacci ศึกษาใน "Book of Calculations" ของเขาเกี่ยวข้องกับอัตราการสืบพันธุ์ของกระต่ายภายใต้สถานการณ์ที่เหมาะสม สมมติว่ากระต่ายเกิดใหม่คู่หนึ่ง ตัวผู้และตัวเมียถูกปล่อยในทุ่งเพื่อเลี้ยง กระต่ายสามารถผสมพันธุ์ได้เมื่อมีอายุได้หนึ่งเดือน ดังนั้นเมื่อถึงสิ้นเดือนที่สอง กระต่ายตัวเมียจะออกลูกได้อีกคู่หนึ่ง สมมติว่ากระต่ายไม่มีวันตาย กระต่ายตัวเมียจะให้กำเนิดกระต่ายคู่ใหม่ (ตัวผู้ 1 ตัว ตัวเมีย 1 ตัว) ทุกเดือน โดยเริ่มในเดือนที่สอง คำถามที่ Fibonacci หยิบยกขึ้นมาคือ หลังจากหนึ่งปีจะมีกระต่ายทั้งหมดกี่คู่?
· ปลายเดือนแรกผสมพันธุ์กันแต่ยังมีเพียงคู่เดียว
· ปลายเดือนที่ 2 กระต่ายตัวเมียได้คลอดลูกออกมาใหม่ จึงมีกระต่าย 2 คู่
· สิ้นเดือนที่ 3 ตัวเมียตัวเดิมจะออกคู่ที่ 2 รวมเป็น 3 คู่
· เมื่อสิ้นสุดเดือนที่สี่ กระต่ายตัวเมียตัวเดิมก็ออกลูกคู่ใหม่ และตัวเมียรุ่นที่สองซึ่งเกิดก่อนหน้านั้นสองเดือนก็ออกลูกกระต่ายคู่แรกเช่นกัน รวมเป็นกระต่ายทั้งหมดห้าคู่แล้ว
สมมติว่ามีกระต่าย x_n คู่หลังจากผ่านไป n เดือน จากนั้นจำนวนกระต่ายที่จะอยู่ใน n+1 เดือนคือกระต่าย x_n คู่ (กระต่ายไม่มีวันตาย) บวกกระต่ายเกิดใหม่หนึ่งคู่ แต่คู่ใหม่จะเกิดเมื่อมีอายุอย่างน้อยหนึ่งเดือนเท่านั้น ดังนั้นจะมีกระต่ายใหม่ x_(n-1) คู่ ดังนั้นเราจึงมี
นั่นเป็นเพียงกฎสำหรับการสร้างลำดับฟีโบนัชชี: เพิ่มสองเทอมสุดท้ายเพื่อรับเทอมถัดไป ต่อไปคุณจะพบว่าหลังจาก 12 เดือน จะมีกระต่ายทั้งหมด 233 คู่
อันที่จริง ควรใช้ผึ้งเป็นตัวอย่างจะดีกว่า
เห็นได้ชัดว่าปัญหากระต่ายเป็นเรื่องเทียม แต่ลำดับฟีโบนัชชีปรากฏในจำนวนประชากรจริงในธรรมชาติ และผึ้งก็เป็นตัวอย่าง ในฝูงผึ้งมีผึ้งตัวเมียชนิดพิเศษที่เรียกว่านางพญาผึ้ง ตัวเมียตัวอื่นๆ ทั้งหมดเป็นผึ้งงาน และผึ้งงานไม่วางไข่ ผึ้งตัวผู้เพิ่มเติมไม่ทำงานและเรียกว่าโดรน
โดรนผลิตขึ้นจากไข่ที่ไม่ได้รับการผสมของผึ้งนางพญา ดังนั้นมันจึงมีแต่แม่และไม่มีพ่อ และตัวเมียทั้งหมดจะถูกผลิตเมื่อนางพญาผึ้งผสมพันธุ์กับตัวผู้ ดังนั้นผึ้งตัวเมียจึงมีพ่อแม่เป็นตัวผู้และตัวเมีย ในขณะที่ผึ้งตัวผู้มีแม่เพียงตัวเดียวคือตัวเมีย
ทีนี้มาดูแผนผังตระกูลของโดรนด้านบนจากล่างขึ้นบน และดูลำดับ Fibonacci อีกครั้ง
เกลียวและเปลือกหอยประชากรผึ้งไม่ได้เป็นเพียงที่เดียวในธรรมชาติที่ตัวเลขฟีโบนัชชีปรากฏขึ้น พวกมันยังปรากฏอยู่ในเปลือกหอยรูปก้นหอยที่สวยงามอีกด้วย เราสามารถดูภาพเคลื่อนไหวด้านล่าง โดยเริ่มจากสี่เหลี่ยมเล็กๆ สองช่องขนาด 1 วาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2 (=1+1) เหนือสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กๆ ทั้งสองนี้ ตอนนี้เราสามารถวาดสี่เหลี่ยมใหม่ - อันที่ยึดทั้งสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยและด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหม่อันที่สอง ดังนั้นด้านจะยาว 3 หน่วย จากนั้นอีกอันที่ยึดทั้งสี่เหลี่ยม 2 และ 3 สี่เหลี่ยมจัตุรัส (มีด้าน 5 หน่วย ). เราสามารถเพิ่มสี่เหลี่ยมรอบๆ รูปภาพได้เรื่อยๆ โดยสี่เหลี่ยมใหม่แต่ละอันจะมีด้านที่ยาวเท่ากับผลบวกของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใกล้ที่สุดสองอัน ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมชุดนี้คือเลขฟีโบนัชชีสองตัวที่อยู่ติดกัน ซึ่งเราเรียกว่าสี่เหลี่ยมสีทอง
ถ้าเราวาดวงกลมสี่วงในแต่ละช่อง เราก็สามารถวาดเกลียวได้ เพื่อให้แม่นยำ เกลียวนี้ไม่ใช่เกลียวทางคณิตศาสตร์จริง ๆ (เพราะมันประกอบด้วยส่วนโค้งวงกลม และรัศมีจะไม่เล็กลงเรื่อย ๆ) แต่สามารถประมาณรูปร่างก้นหอยที่มักปรากฏในธรรมชาติได้ดีมาก , เช่นหอยทากและเปลือกหอย ในภาพด้านล่าง ภาพตัดขวางของเปลือกทะเลแสดงเส้นโค้งเกลียวของเปลือกหอย
ลำดับฟีโบนัชชีปรากฏในกลีบและกลีบเลี้ยงของพืชด้วย พืชบางชนิดก็เติบโตในลักษณะนี้เช่นกัน เช่น ดอกเดซี่สามารถมีกลีบได้ 34, 55 และมากถึง 89 กลีบ! นอกจากนี้ การจัดเรียงที่มีมนต์ขลังและสวยงามเป็นพิเศษคือส่วนที่เป็นเกลียวในตา ครั้งต่อไปที่คุณเห็นดอกทานตะวัน ลองมองดูการเรียงตัวของเมล็ดพืชในกระถางอย่างใกล้ชิด แล้วคุณจะสังเกตเห็นว่าเกลียวสองชุด ชุดหนึ่งหมุนตามเข็มนาฬิกาไปทางขวาและอีกชุดหนึ่งหมุนไปทางซ้ายทวนเข็มนาฬิกา ฝังอยู่ในกันและกัน เติบโตในสิ่งนี้ การจัดเตรียม.
ดูที่ขอบของภาพดอกทานตะวันด้านบน หากคุณนับความโค้งของเมล็ดที่หมุนวนไปทางซ้ายเมื่อคุณออกไปด้านนอก จะเห็นว่ามี 55 เกลียว ที่จุดเดียวกัน มีเมล็ดเกลียว 34 เมล็ดหมุนวนไปทางขวา ตรงกลางอีกเล็กน้อยคุณสามารถนับ 34 เกลียวไปทางซ้ายและ 21 ไปทางขวา ในลำดับฟีโบนัชชี คู่ของตัวเลข (ตัวเลขหมุนวนซ้ายและหมุนวนขวา) จะอยู่ติดกันเสมอ (ดังแสดงในแผนภาพด้านล่าง)
เช่นเดียวกับเมล็ดพันธุ์และดอกตูมจำนวนมากในธรรมชาติ เหตุผลน่าจะเป็นเพราะโครงสร้างนี้ก่อให้เกิดการจัดเรียงที่เหมาะสมของเมล็ด ดังนั้นไม่ว่าเมล็ดจะมีขนาดใหญ่เพียงใด เมล็ดทั้งหมดจะมีขนาดเท่ากัน ตรงกลางไม่แออัด ขอบเป็น ไม่เบาบางเกินไปและดิสก์นั้นแข็งแกร่งที่สุด
ธรรมชาติดูเหมือนจะใช้รูปแบบเดียวกันในการพันกลีบรอบขอบของดอกไม้และกระจายใบรอบก้าน ยิ่งไปกว่านั้น โครงสร้างนี้ยังคงอยู่ตลอดการเติบโตอย่างต่อเนื่องของโรงงาน! แล้วพืชจะรักษาสิ่งนี้ได้อย่างไร?
การเจริญเติบโตของทองคำโดยการคัดเลือกโดยธรรมชาติ
นักพฤกษศาสตร์ได้แสดงให้เห็นว่าพืชเติบโตโดยการแบ่งเซลล์ที่ส่วนยอดที่เรียกว่าเมอริสเตม ในตอนท้ายของกิ่งหรือกิ่งแต่ละกิ่งจะมีเนื้อเยื่อที่แยกจากกันซึ่งเซลล์ใหม่จะก่อตัวขึ้น เมื่อก่อตัวขึ้นแล้วพวกมันจะขยายขนาดขึ้น แต่เซลล์ใหม่จะแตกออกที่จุดเติบโตดังกล่าวเท่านั้น เซลล์จะพันรอบลำต้นและดิ้นรนที่จะเติบโตออกไปด้านนอก และเซลล์จะเติบโตเป็นเกลียว เช่นเดียวกับเนื้อเยื่อที่หมุนเป็นมุมเพื่อสร้างเซลล์ใหม่ หมุนอีกครั้งในมุมเดิมเพื่อสร้างเซลล์ใหม่ และอื่นๆ เซลล์เหล่านี้อาจเป็นเมล็ดใหม่ กลีบดอกใหม่ ยอดใหม่
ใบนี้จะมีหมายเลขตามลำดับ แต่ละใบจะหมุนตามเข็มนาฬิกา 0.618 รอบ (222.5°) จากใบก่อนหน้า
น่าประหลาดใจที่มุมการหมุนคงที่เช่นนี้ทำให้เกิดการออกแบบเลย์เอาต์ที่เหมาะสมที่สุด ไม่ว่าต้นไม้จะมีขนาดใหญ่เพียงใด ในช่วงต้นศตวรรษที่แล้ว บางคนคาดการณ์ว่าตามมุมนี้ สามารถสร้างพื้นที่ระนาบที่เต็มอย่างสม่ำเสมอได้เสมอ แต่นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสสองคนยังพิสูจน์ไม่ได้จนกระทั่งปี 1993 การทำเช่นนี้สำหรับการหมุน 0.618 จะให้รูปแบบเมล็ดที่เหมาะสมที่สุดก่อนที่เมล็ดใหม่ (หรือใบ กลีบดอก ฯลฯ) จะพุ่งทะลุกำแพง แต่เลขมหัศจรรย์ 0.618 นั้นมาจากไหน?
อัตราส่วนทองคำ φ
หากเรานำอัตราส่วนของตัวเลขสองตัวที่เรียงกันในลำดับฟีโบนัชชีมาหารด้วยตัวเลขก่อนหน้า เราจะได้ลำดับต่อไปนี้:
หากคุณสร้างกราฟค่าเหล่านี้ คุณจะเห็นว่ามันดูเหมือนจะถึงขีดจำกัด ซึ่งเราเรียกว่าอัตราส่วนทองคำ (หรือที่เรียกว่าตัวเลขสีทองและส่วนสีทอง)
ค่าที่แน่นอนของอัตราส่วนของเทอมฟีโบนัชชีต่อเนื่องคือ (√5 + 1)/2 (ประมาณ 1.618034) โดยปกติจะแสดงด้วยอักษรกรีก Phi (อักษรกรีกพิมพ์ใหญ่ Φ) ส่วนที่เป็นเศษส่วนของ Phi แสดงด้วย phi ตัวพิมพ์เล็ก (อักษรกรีก: φ) และค่าที่แน่นอนคือ (√5 - 1)/2 ซึ่งมีค่าโดยประมาณเท่ากับ 0.618034 φ นี้สัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับจำนวนเอนริเก้และการจัดเรียงตัวของไฟโลแทกซีในเมล็ดพืชหลายชนิด ดังนั้นเราจะเห็น φ ในพืชหลายชนิดด้วย
ค่าพีเป็นจำนวนอตรรกยะ และค่าพีก็เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนอย่างง่ายได้ มาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเนื้อเยื่อของพืชหมุนด้วยจำนวนที่ง่ายกว่า เช่น 1/2 หลังจากหมุนไป 2 รอบ เราก็กลับมายังทิศทางของเมล็ดแรก เมื่อเวลาผ่านไป ขณะที่เมล็ดพันธุ์ใหม่ยังคงเติบโตในใจกลาง แต่ละครึ่งรอบจะผลักเมล็ดพันธุ์ก่อนหน้าให้แผ่กระจายออกไปในสองทิศทางการเติบโต ทำให้เหลือพื้นที่สำหรับระนาบบนและล่าง
หมุนระหว่างเมล็ด 0.5=1/2 รอบ: เมล็ดจะเติบโตเป็นแถวสลับกัน การหมุนระหว่างเมล็ด 0.48=12/25 รอบ: เมล็ดจะสร้างทางเดินเป็นเกลียวสองเส้น การกด 0.6=3/5 จะหมุนระหว่างเมล็ด: เมล็ดจะก่อตัวเป็นเกลียว 5 เส้น หมุนระหว่างเมล็ดด้วยวงกลม π: เมล็ดพืชสร้างเส้นทางเกลียวเจ็ดเส้น รูปแบบที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับการหมุนที่ค่าอื่นๆ: หากเมล็ดยังคงแยกและเติบโตตามเส้นทางของเกลียวด้านบน จะมีช่องว่างระหว่างพวกมันจำนวนมาก (จำนวนของเกลียวคือตัวส่วนของอัตราส่วนนี้) ดังนั้น ค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับจำนวนเกลียวจะเป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ไม่มีจำนวนอตรรกยะใด ๆ ที่จะทำ ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่าจะมีเกลียวเจ็ดวงเพิ่มขึ้นตามค่าของ π เนื่องจาก 22/7 เป็นค่าประมาณที่สมเหตุสมผลสำหรับค่า π
เพื่อที่จะใช้พื้นที่ว่างให้ได้มากที่สุด สิ่งที่จำเป็นคือจำนวนอตรรกยะที่ไม่สามารถประมาณด้วยจำนวนตรรกยะได้มากที่สุด ผลลัพธ์นี้คือ Phi หรือ phi เพราะเป็น "จำนวนอตรรกยะที่สุด" ในจำนวนอตรรกยะทั้งหมด นั่นเป็นเหตุผลที่การผันแปรของค่า Phi ทำให้ได้เค้าโครงที่ดีที่สุดสำหรับเมล็ดและใบของพืช สิ่งนี้ยังอธิบายว่าทำไมลำดับฟีโบนัชชีจึงปรากฏบนเส้นการเติบโตแบบเกลียวบนของ Phyllotaxy และจานดอกไม้ - อัตราส่วนของหมายเลขฟีโบนัชชีที่อยู่ติดกันจะเข้าใกล้อัตราส่วนทองคำในที่สุด
แล้วพืชค้นพบจำนวน φ ที่สวยงามและมีประโยชน์นี้ได้อย่างไร เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่การแก้ปัญหาด้วยการคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างฟีโบนัชชี แต่พืชค่อยๆ วิวัฒนาการและคงอยู่ในจำนวนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการอยู่รอดของพวกมันเองในช่วงวิวัฒนาการหลายร้อยล้านปี มรดกของ Fibonacci ไม่เพียงฉายแสงบนตาของต้นไม้ทุกต้นเท่านั้น แต่ยังส่องประกายแวววาวและมีเสน่ห์ที่สุดดวงหนึ่งที่โลกคณิตศาสตร์เคยผลิบาน
เพิ่มรายการโปรด
