Fibonacci, một nhà toán học người Ý của Cộng hòa Pisa thuộc châu Âu thời trung cổ, được coi là "nhà toán học phương Tây tài năng nhất" vào thời của ông. Nhưng bây giờ chúng tôi đang gọi anh ấy như vậy, có lẽ khiến chính người đàn ông đó, Leonardo Pisano, mất tinh thần. Điều khiến ông ngạc nhiên nữa là dãy Fibonacci do ông đặt tên được cả thế giới nhắc đến nhiều nhất: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., chứ không phải là thành tựu Toán học vĩ đại hơn của ông - giới thiệu về giá trị vị trí hệ thống ký hiệu cho chữ số Ả Rập và số nhân sang châu Âu.
Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci
Đế chế La Mã thần thánh đã để lại cho châu Âu hệ thống chữ số La Mã, và chúng ta vẫn có thể thấy cụm từ "2013 là MMXIII" trong thông báo bản quyền của nhiều bộ phim ngày nay. Chữ số La Mã không được thay thế bằng chữ số Ả Rập cho đến giữa thế kỷ 13 sau Công nguyên. Cuốn sách Liber Abaci của Leonardo Pisano là một trong những cuốn sách phương Tây đầu tiên khuyến nghị thay thế chữ số La Mã bằng chữ số Ả Rập.
Leonardo Pisano sinh ra ở Pisa, Ý vào cuối thế kỷ 12 nên người ta còn gọi ông là Leonardo xứ Pisa. Pisano, trong tiếng Ý có nghĩa là anh ấy đến từ Pisa, cũng như Manchester có nghĩa là từ Manchester. Cha của Leonardo tên là Guglielmo Bonaccio. Nhiều thế kỷ sau, khi các học giả đang nghiên cứu bản thảo của Cuốn sách Tính toán (vì nó được xuất bản trước khi phát minh ra máy in), họ đã hiểu sai một phần tiêu đề - "filius Bonacci" (có nghĩa là Con trai của Bonaccio). Chữ viết tắt Fibonacci được hiểu là họ của anh ấy, vì vậy nhà toán học vĩ đại mà chúng tôi gọi là "Fibonacci" được truyền lại từ sai lầm này cho đến ngày nay.
Fibonacci (hãy cứ gọi anh ấy như vậy) đã trải qua thời thơ ấu ở Bắc Phi, được giáo dục bởi người Moor, ở Barbary (Algeria), đi du lịch nhiều nơi, và sau đó được gửi đến Ai Cập, Syria, Hy Lạp, Sicily Du lịch đến Provence. Khi trở lại Pisa vào năm 1200 sau Công nguyên, ông đã sử dụng những gì đã học được trong chuyến du hành của mình để viết Sách về các phép tính (xuất bản năm 1202). Chính trong cuốn sách này, ông đã giới thiệu hệ thống chữ số Ấn-Ả Rập vào thế giới nói tiếng Latinh lúc bấy giờ. Ở đầu chương đầu tiên của phần đầu tiên của cuốn sách, nó được viết:
"Đây là chín số ở Ấn Độ: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Sử dụng chín số này, cộng với ký hiệu 0 (được gọi là zephiroum trong tiếng Ả Rập), chúng ta có thể chuyển đổi bất kỳ số nào thành cách viết ra như thế này."
Ý vào thời điểm đó được tạo thành từ các khu vực và thành phố độc lập nhỏ, dẫn đến việc sử dụng nhiều hệ thống đo lường và tiền tệ. Khi các thương nhân giao dịch giữa các hệ thống khác nhau, họ buộc phải chuyển đổi từ hệ thống này sang hệ thống khác, và phương pháp tính toán bằng chữ số La Mã lạc hậu đã ức chế nghiêm trọng hành vi kinh doanh. Fibonacci đã viết "Sách tính toán" cho những thương nhân này, giải quyết một số lượng lớn các vấn đề thực tế và cho thấy cách thức kinh doanh đơn giản và hiệu quả có thể được tiến hành với hệ thống số mới này so với các chữ số La Mã và phép tính toán học vụng về. Truyền bá ảnh hưởng của số thập phân thông qua cuốn sách của Fibonacci là thành tựu toán học lớn nhất của ông. Tuy nhiên, tôi được cả thế giới biết đến nhờ dãy Fibonacci được liệt kê trong "Sách tính toán".
Bài toán con thỏ của Fibonacci
Một trong những bài toán mà Fibonacci nghiên cứu trong "Sách tính toán" của ông liên quan đến tốc độ sinh sản của thỏ trong những điều kiện lý tưởng. Giả sử một cặp thỏ mới sinh, một đực và một cái, được thả vào một cánh đồng để nuôi nấng. Thỏ có thể giao phối khi được một tháng tuổi, để đến cuối tháng thứ hai thỏ cái có thể sinh thêm một cặp. Giả sử thỏ không bao giờ chết, thỏ cái sẽ sinh một cặp thỏ mới (một đực, một cái) mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ hai. Câu hỏi được đặt ra bởi Fibonacci là. Hỏi sau một năm có tất cả bao nhiêu cặp thỏ?
· Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có một cặp.
· Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái sinh thêm một cặp thỏ con, như vậy số lượng thỏ lúc này là 2 cặp.
· Vào cuối tháng thứ ba, con cái ban đầu sinh ra cặp thứ hai, tổng cộng là 3 cặp.
· Vào cuối tháng thứ tư, thỏ cái ban đầu sinh ra một cặp thỏ mới và thỏ cái thế hệ thứ hai, được sinh ra trước đó hai tháng, cũng sinh ra cặp thỏ đầu tiên, tổng cộng hiện tại có năm cặp thỏ.
Bây giờ, giả sử có x_n cặp thỏ sau n tháng. Khi đó số thỏ sẽ có trong n+1 tháng là x_n cặp thỏ, (thỏ không bao giờ chết) cộng với một cặp thỏ mới sinh. Nhưng các cặp mới chỉ được sinh ra khi chúng được ít nhất một tháng tuổi, vì vậy sẽ có x_(n-1) cặp thỏ mới. vì vậy chúng tôi có
Đó chỉ là quy tắc để tạo dãy Fibonacci: cộng hai số hạng cuối để được số hạng tiếp theo. Tiếp theo, bạn thấy rằng sau 12 tháng, sẽ có 233 cặp thỏ.
Trên thực tế, tốt hơn là lấy ong làm ví dụ.
Vấn đề thỏ rõ ràng là giả tạo, nhưng dãy Fibonacci thực sự xuất hiện trong các quần thể thực tế trong tự nhiên và ong là một ví dụ. Trong một đàn ong, có một loại ong cái đặc biệt được gọi là ong chúa. Tất cả những con cái khác là ong thợ và ong thợ không đẻ trứng. Những con ong đực bổ sung không hoạt động và được gọi là máy bay không người lái.
Con ong chúa được sinh ra từ những quả trứng không được thụ tinh của ong chúa nên nó chỉ có mẹ mà không có bố. Và tất cả ong cái đều được sinh ra khi ong chúa giao phối với ong đực. Như vậy ong cái có bố mẹ là ong đực và ong cái, trong khi ong đực chỉ có một mẹ là ong cái.
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào cây phả hệ của máy bay không người lái ở trên từ dưới lên và xem lại dãy Fibonacci.
Xoắn ốc và vỏ sòQuần thể ong không phải là nơi duy nhất trong tự nhiên xuất hiện các số Fibonacci, chúng còn xuất hiện dưới dạng xoắn ốc tuyệt đẹp của vỏ sò. Chúng ta có thể xem hình động bên dưới, bắt đầu với hai hình vuông nhỏ có kích thước 1. Vẽ một hình vuông có kích thước 2 (=1+1) bên trên hai hình vuông nhỏ này. Bây giờ chúng ta có thể vẽ một hình vuông mới - một hình vuông bám vào cả một hình vuông đơn vị và các cạnh của hình vuông mới thứ hai, vì vậy các cạnh dài 3 đơn vị; sau đó một hình vuông khác bám vào cả hai hình vuông và 3 hình vuông (nó có 5 đơn vị cạnh ). Chúng ta có thể tiếp tục thêm các hình vuông xung quanh bức tranh, mỗi hình vuông mới có cạnh có độ dài bằng tổng các cạnh của hai hình vuông gần nhất. Độ dài các cạnh của tập hợp các hình chữ nhật này là hai số Fibonacci kề nhau, mà chúng ta gọi là các hình chữ nhật vàng.
Nếu bây giờ chúng ta vẽ một phần tư hình tròn trên mỗi hình vuông, chúng ta có thể vẽ một hình xoắn ốc. Nói chính xác, hình xoắn ốc này không phải là một hình xoắn ốc toán học thực sự (vì nó bao gồm các đoạn cung tròn và bán kính sẽ không ngày càng nhỏ hơn), nhưng nó có thể rất gần đúng với hình dạng xoắn ốc thường xuất hiện trong tự nhiên, chẳng hạn như ốc và vỏ sò. Trong hình ảnh bên dưới, mặt cắt ngang của vỏ sò biển cho thấy đường cong xoắn ốc của vỏ sò.
Dãy Fibonacci cũng xuất hiện ở cánh hoa và đài hoa của thực vật. Một số loài thực vật cũng phát triển theo cách này, chẳng hạn như hoa cúc có thể có 34, 55 và thậm chí có tới 89 cánh hoa! Ngoài ra, một sự sắp xếp đặc biệt kỳ diệu và đẹp mắt là chuỗi xoắn trong nụ. Lần tới khi bạn nhìn thấy một bông hoa hướng dương, hãy nhìn kỹ vào cách sắp xếp các hạt trong lọ hoa và bạn sẽ nhận thấy rằng hai bộ xoắn ốc, một đi theo chiều kim đồng hồ sang phải và một ngược chiều kim đồng hồ ở bên trái, được lồng vào nhau và phát triển trong đó. sắp xếp.
Nhìn vào các cạnh của bức tranh hoa hướng dương ở trên, nếu bạn đếm các đường cong của hạt xoắn ốc về bên trái khi bạn đi ra ngoài, thì có 55 đường xoắn ốc. Tại cùng một điểm có 34 hạt xoắn ốc xoắn ốc về phía phải. Xa hơn một chút ở giữa, bạn có thể đếm được 34 hình xoắn ốc ở bên trái và 21 ở bên phải. Trong dãy Fibonacci, các cặp số (số xoắn ốc bên trái và bên phải) luôn liền kề nhau (như trong sơ đồ bên dưới).
Điều này cũng đúng với nhiều hạt giống và nụ hoa trong tự nhiên. Lý do dường như là cấu trúc này tạo thành một sự sắp xếp tối ưu của các hạt, do đó hạt dù lớn đến đâu, chúng vẫn phân bố đều ở mọi giai đoạn, tất cả các hạt đều có kích thước như nhau, tâm không chen chúc, các cạnh đều. không quá thưa thớt và đĩa là mạnh nhất.
Thiên nhiên dường như sử dụng cùng một mô hình để quấn các cánh hoa quanh mép bông hoa và phân bố các lá quanh cuống. Hơn nữa, cấu trúc này được duy trì trong suốt quá trình phát triển liên tục của cây! Vậy làm thế nào để thực vật duy trì điều này một cách tối ưu?
Tăng trưởng vàng theo chọn lọc tự nhiên
Các nhà thực vật học đã chứng minh rằng thực vật phát triển bằng cách phân chia các tế bào ở đỉnh gọi là mô phân sinh. Ở cuối mỗi nhánh hoặc cành có một mô phân sinh riêng, nơi các tế bào mới hình thành. Sau khi được hình thành, chúng sẽ phát triển về kích thước, nhưng các tế bào mới chỉ bùng phát ở những điểm tăng trưởng như vậy. Các tế bào đang quấn quanh thân cây, cố gắng phát triển ra bên ngoài. Và, các tế bào phát triển theo hình xoắn ốc, giống như mô phân sinh quay theo một góc để tạo ra một tế bào mới, lại quay theo cùng một góc để tạo ra một tế bào mới, v.v. Những tế bào này có thể là hạt mới, cánh hoa mới, chồi mới.
Ở đây, các lá được đánh số liên tục, mỗi lá quay 0,618 theo chiều kim đồng hồ (222,5°) so với lá trước đó.
Thật ngạc nhiên, một góc quay cố định như vậy tạo ra một thiết kế bố cục tối ưu cho dù cây có lớn đến đâu. Ngay từ thế kỷ trước, một số người đã suy đoán rằng theo góc này luôn có thể tạo ra một không gian phẳng được lấp đầy đều, nhưng mãi đến năm 1993 điều đó mới được chứng minh bằng toán học bởi hai nhà toán học người Pháp. Làm điều này cho các phép quay 0,618 sẽ mang lại bố cục hạt giống tối ưu trước khi các hạt mới (hoặc lá, cánh hoa, v.v.) đâm xuyên qua tường, nhưng số ma thuật 0,618 đó đến từ đâu?
Tỷ lệ vàng φ
Nếu chúng ta lấy tỷ lệ của hai số liên tiếp trong dãy Fibonacci và chia cho số liền trước, chúng ta sẽ nhận được dãy sau:
Nếu vẽ biểu đồ các giá trị này, bạn sẽ thấy rằng chúng dường như đạt đến giới hạn mà chúng tôi gọi là tỷ lệ vàng (còn được gọi là số vàng và tiết diện vàng).
Giá trị chính xác của tỷ lệ của số hạng Fibonacci liên tục là (√5 + 1)/2 (xấp xỉ 1,618034), thường được biểu thị bằng chữ Hy Lạp Phi (chữ Hy Lạp viết hoa Φ). Phần phân số của Phi được biểu thị bằng chữ thường phi (chữ cái Hy Lạp: φ) và giá trị chính xác là (√5 - 1)/2, xấp xỉ bằng 0,618034. φ này có liên quan chặt chẽ hơn với số vòng xoắn và sự sắp xếp của phyllotoxy trong nhiều loại hạt thực vật, vì vậy chúng ta cũng sẽ thấy φ trong nhiều loại thực vật.
Giá trị Phi là số vô tỉ, và phi cũng vậy, nghĩa là chúng không thể viết dưới dạng phân số đơn giản. Hãy xem điều gì xảy ra nếu mô phân sinh của cây được xoay bởi một số số đơn giản hơn, chẳng hạn như 1/2. Sau hai lần quay, chúng tôi quay trở lại hướng của hạt giống đầu tiên. Thời gian trôi qua, khi những hạt giống mới tiếp tục phát triển ở trung tâm, mỗi nửa vòng quay sẽ đẩy những hạt giống trước đó tỏa ra theo hai hướng phát triển, để lại khoảng trống cho mặt phẳng trên và dưới.
Luân phiên giữa các hạt 0,5=1/2 lượt: các hạt luân phiên mọc theo hàng. Xoay giữa các hạt 0,48=12/25 vòng: các hạt tạo thành hai đường xoắn ốc. Nhấn 0,6=3/5 sẽ xoay giữa các hạt: các hạt tạo thành 5 đường xoắn ốc. Xoay giữa các hạt theo vòng tròn π: Các hạt tạo ra bảy đường xoắn ốc. Một mô hình tương tự xảy ra với các phép quay ở các giá trị khác: nếu hạt giống tiếp tục phân tách và phát triển dọc theo đường của một vài vòng xoắn ốc phía trên, thì sẽ có rất nhiều khoảng trống giữa chúng (số lượng vòng xoắn ốc là mẫu số của tỷ lệ này). Do đó, giá trị tối ưu cho số vòng xoắn ốc sẽ là một số vô tỷ. Nhưng không phải bất kỳ số vô tỷ nào cũng được. Ví dụ, dường như có bảy đường xoắn ốc tăng theo giá trị của π, vì 22/7 là một xấp xỉ hợp lý tốt cho π.
Để sử dụng không gian càng nhiều càng tốt, điều cần thiết là một số vô tỷ không thể xấp xỉ bằng các số hữu tỷ càng nhiều càng tốt. Kết quả này là Phi hoặc phi, bởi vì chúng là "số vô tỷ nhất" trong tất cả các số vô tỷ. Đó là lý do tại sao sự thay đổi của giá trị Phi mang lại bố cục tốt nhất cho hạt và lá của cây. Điều này cũng giải thích tại sao dãy Fibonacci xuất hiện trên đường tăng trưởng xoắn ốc phía trên của phyllotax và đĩa hoa - tỷ lệ của các số Fibonacci liền kề cuối cùng tiến tới tỷ lệ vàng vô hạn.
Vậy làm thế nào mà thực vật phát hiện ra số φ xinh đẹp và hữu ích này? Rõ ràng không phải bằng cách giải các phép tính toán học như Fibonacci. Thay vào đó, thực vật đã dần tiến hóa và duy trì ở số lượng phù hợp nhất cho sự sinh tồn của chính chúng trong quá trình tiến hóa hàng trăm triệu năm. Di sản của Fibonacci tỏa sáng không chỉ trên chồi non của mỗi loài thực vật, mà còn ở một trong những ánh sáng rực rỡ và quyến rũ nhất mà thế giới toán học từng nở rộ.
Thêm
