Dãy số Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4141, 6765, v.v.
Số Lucas:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5781, 9349, v.v.
Số hộ chiếu:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, v.v.
Pell - Số Lucas:
2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, v.v.
Đây là tất cả các trình tự nổi tiếng trong toán học.
dãy Fibonacci
Giới thiệu về dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci (còn được dịch là "dãy Fibonacci" hay "dãy Fibonacci") là một dãy rất đẹp và hài hòa mà hình dạng của nó có thể được minh họa bằng một loạt các ô vuông được sắp xếp theo hình xoắn ốc (chẳng hạn như sơ đồ bên phải), ô vuông ban đầu ( màu xám trong hình) có độ dài cạnh là 1, và độ dài cạnh của hình vuông bên trái nó cũng là 1, và một hình vuông khác được đặt lên trên hai hình vuông này, và độ dài cạnh của nó là 2, và sau đó thêm các hình vuông có độ dài các cạnh là 3, 5, 8, 13, 21..., v.v. Mỗi số này bằng tổng của hai số trước đó và chúng chỉ tạo thành dãy Fibonacci. Người phát minh ra "dãy Fibonacci" là nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci (sinh năm 1170 sau Công nguyên và mất năm 1240. Nguyên quán của ông có lẽ là Pisa). Ông được mệnh danh là "Leonardo của Pisa". Năm 1202, ông viết cuốn sách "Giải phóng Abaci" (Liber Abaci). Ông là người châu Âu đầu tiên nghiên cứu các lý thuyết toán học của Ấn Độ và Ả Rập. Cha của ông được thuê làm lãnh sự ngoại giao bởi một tập đoàn kinh doanh ở Pisa, nơi ông đóng quân ở khu vực tương đương với Algérie ngày nay, nên Leonardo được học toán dưới sự hướng dẫn của một giáo viên người Ả Rập. Ông cũng học toán ở Ai Cập, Syria, Hy Lạp, Sicily và Provence.
Dãy Fibonacci đề cập đến một dãy như vậy: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Dãy bắt đầu với số hạng thứ ba và mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng trước đó. Công thức số hạng tổng quát của nó là: (1/√5)*{[(1 √5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5 có nghĩa là căn bậc hai số học của 5) ( Nhà toán học người Pháp thế kỷ 19 Minnie (Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)
Một điều rất thú vị là một dãy số tự nhiên như vậy, công thức số hạng tổng quát thực chất lại được biểu diễn bằng các số vô tỷ.
Dãy số Fibonacci nổi tiếng cũng có thể liên quan đến nhà văn trinh thám người Mỹ Dan Brown, người đã khéo léo sử dụng dãy số này trong cuốn tiểu thuyết "Mật mã Da Vinci" của mình.
Trên thực tế, tam giác Yang Hui đã được đề cập trong sách giáo khoa phổ thông hiện nay ở nước ta, và dãy Fibonacci có thể được tìm thấy trong đó.
⋙ Sự xuất hiện của dãy Fibonacci
Vào đầu thế kỷ 13, nhà toán học giỏi nhất châu Âu là Fibonacci, ông đã viết một cuốn sách tên là "Sách bàn tính", đây là cuốn sách toán học hay nhất châu Âu thời bấy giờ. Có rất nhiều bài toán thú vị trong cuốn sách, trong đó thú vị nhất là bài sau:
"Nếu một cặp thỏ có thể sinh một cặp thỏ con mỗi tháng và mỗi cặp thỏ con có thể bắt đầu sinh một cặp thỏ con khác vào tháng thứ ba sau khi sinh, giả sử rằng không có cái chết nào, sẽ có một cặp thỏ con, bắt đầu từ một con thỏ mới sinh, sau một năm có thể sinh ra bao nhiêu cặp thỏ?”
Fibonacci sắp xếp một vài số được tính toán đầu tiên trong một chuỗi: 1, 1, 2, 3, 5, 8...
Có một quy tắc ngụ ý trong dãy số này: bắt đầu từ số thứ ba, mỗi số tiếp theo là tổng của hai số trước đó. Theo luật này, chỉ cần thực hiện một số phép cộng đơn giản, có thể tính được số lượng thỏ trong mỗi tháng.
Vì vậy, những con số được tính theo định luật này tạo thành một dãy số nổi tiếng trong lịch sử toán học. Mọi người gọi nó là "dãy Fibonacci", còn được gọi là "dãy con thỏ". Dãy số này có rất nhiều tính chất đặc thù, chẳng hạn như bắt đầu từ số thứ ba, tỷ lệ của mỗi số so với số đằng sau nó rất gần với 0,618, trùng khớp với "luật mặt cắt vàng" nổi tiếng. Người ta cũng đã phát hiện ra rằng ngay cả quy luật sinh trưởng của một số sinh vật cũng có thể được mô tả bằng trình tự này dưới những giả định nhất định.
Bản thân Fischer không thảo luận thêm về trình tự này. Mãi đến đầu thế kỷ 19, người ta mới nghiên cứu chi tiết về nó, khoảng năm 1960, nhiều nhà toán học rất quan tâm đến dãy Fibonacci và các hiện tượng liên quan, họ không chỉ thành lập Hiệp hội Fibonacci mà còn thành lập các ấn phẩm liên quan. như những con thỏ của Fibonacci.
⋙ Nguồn gốc và mối quan hệ của dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci xuất phát từ bài toán con thỏ, và nó có mối quan hệ đệ quy,
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1) f(n-2), trong đó n>=2
{f(n)} là dãy Fibonacci.
⋙ Công thức dãy Fibonacci
Công thức số hạng tổng quát của nó là: {[(1+√5)/2]^n - [(1－√5)/2]^n }/√5 (Lưu ý: √5 có nghĩa là căn số 5)
⋙ Một số tính chất của dãy Fibonacci
1), f(n)f(n)-f(n 1)f(n-1)=(-1)^n;
2), f(1) f(2) f(3) ... f(n)=f(n 2)-1
3), arctan[1/f(2n 1)]=arctan[1/f(2n 2)] arctan[1/f(2n 3)]
【Sự tồn tại của dãy Fibonacci】
Thậm chí có thể nói rằng dãy Fibonacci có ở khắp mọi nơi, đây chỉ là một vài ví dụ phổ biến:
Tổng các số trên đường chéo của tam giác Yang Hui tạo thành dãy Fibonacci.
Các quân bài Domino (có thể được coi là hình vuông 2×1) bao phủ hoàn toàn một bàn cờ n×2 và số lượng các sơ đồ được bao phủ bằng dãy Fibonacci.
Từ góc độ sinh sản của ong, ong chúa chỉ có mẹ mà không có cha, bởi vì trứng do ong chúa đẻ ra, những quả trứng được thụ tinh sẽ nở thành ong cái và những quả trứng không được thụ tinh sẽ nở thành các androgen. Khi mọi người truy tìm tổ tiên của Xiongfeng, họ thấy rằng số tổ tiên thế hệ thứ n của một Xiongfeng chỉ là số hạng thứ n Fn của dãy Fibonacci.
Sự sắp xếp của 13 thang màu của đàn piano hoàn toàn giống với thế hệ thứ sáu của Xiongfeng, cho thấy âm sắc cũng liên quan đến dãy Fibonacci.
Số cánh hoa của một số bông hoa trong tự nhiên tuân theo dãy Fibonacci, nghĩa là trong hầu hết các trường hợp, số cánh hoa của một bông hoa là 3, 5, 8, 13, 21, 34,... (có 6 Có hai bộ 3 cái; 4 cái có thể là đột biến gen).
Nếu một nhánh phát triển một nhánh mới mỗi năm và nhánh mới này phát triển một nhánh mới mỗi năm sau hai năm, thì số lượng nhánh qua các năm cũng tạo thành một dãy Fibonacci.
【Dãy Fibonacci và Phần Vàng】
Mối quan hệ giữa dãy Fibonacci và phần vàng là gì? Thông qua nghiên cứu, người ta thấy rằng tỷ lệ của hai số Fibonacci liền kề dần dần có xu hướng tỷ lệ vàng khi số sê-ri tăng lên. Nghĩa là, f(n- 1)/f(n)-→0,618.... Vì các số Fibonacci đều là số nguyên, thương chia hai số nguyên là một số hữu tỷ nên nó chỉ tiến dần đến số vô tỷ của tỷ lệ vàng. Nhưng khi chúng ta tiếp tục tính các số Fibonacci lớn hơn sau này, chúng ta sẽ thấy rằng tỷ lệ của hai số liền kề thực sự rất gần với tỷ lệ vàng.
Không chỉ các "số Fibonacci" bắt đầu từ 1, 1, 2, 3, 5... là như thế này, chọn ngẫu nhiên 2 số nguyên rồi sắp xếp theo quy luật của dãy số Fibonacci, tỉ số giữa 2 số đó nhé. cũng sẽ dần tiệm cận với tỷ lệ vàng.
Tam giác của dãy Padua
[Biến thể của dãy Fibonacci]
1. Dãy Padua: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, ... Dãy như vậy được gọi là dãy Padua. Nó rất giống với dãy Fibonacci, ngoại trừ mỗi số có được bằng cách bỏ qua số trước nó và thêm hai số trước nó. Dãy số này có thể được biểu diễn bằng một hình khác gồm một số tam giác đều (như hình bên phải). Hình tam giác đầu tiên được hiển thị bằng màu xám. Để làm cho các hình tam giác này khớp với nhau liền mạch, ba hình tam giác đầu tiên có độ dài các cạnh là 1, hai hình tam giác tiếp theo có độ dài các cạnh là 2, sau đó là 3, 4, 5 và 7 theo thứ tự . , 9, 12, 16, 2l...vv.
2. Dongdong có 15 cái kẹo, nếu mỗi ngày bạn ấy ăn ít nhất 3 cái cho đến khi hết thì có bao nhiêu cách ăn khác nhau?
Nếu Dongdong có 3 viên kẹo, 4 viên kẹo hoặc 5 viên kẹo thì chỉ có một cách ăn; nếu có 6 viên kẹo thì có 2 cách ăn; nếu có 7 viên kẹo thì có 3 cách ăn; nếu Nếu có 8 cái kẹo thì có 4 cách ăn, nếu có 9 cái kẹo thì có 6 cách ăn.
Đó là: số hạt kẹo: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. ．．
Cách ăn đường: 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19. ．．
Một dãy như vậy khác với dãy Fibonacci ở chỗ nó bỏ qua số ở giữa mỗi lần, sau đó cộng các số thứ nhất và số thứ ba lại với nhau để bằng số thứ tư. Các định luật của nó vừa giống vừa khác với dãy Fibonacci.
3. Tiểu Minh muốn đi lên cầu thang, mỗi lần có thể lên một, hai, ba bậc, nếu cầu thang có 10 bậc thì cậu ấy có thể đi theo bao nhiêu cách khác nhau?
Ở đây chúng ta cũng có thể nghiên cứu các quy tắc: nếu cầu thang chỉ có một bậc, anh ta có 1 cách đi; nếu cầu thang có 2 bậc, anh ta có 2 cách đi; nếu cầu thang có 3 bậc, anh ta có 4 cách đi. đi bộ; Nếu có năm cầu thang, anh ta có 7 cách để đi bộ.
Đó là: số bậc của cầu thang: 1 2 3 4 5 6 7 8 . ．．
Cách lên cầu thang: 1 2 4 7 13 24 44 81. ．．
Quy tắc ở đây là bắt đầu từ số thứ tư ở đây, mỗi số bằng tổng của ba số trước nó.
[Chuỗi này có nhiều thuộc tính tuyệt vời]
Ví dụ: khi số lượng mục thứ tự tăng lên, tỷ lệ của mục trước so với mục tiếp theo càng gần với phần vàng 0,6180339887... (tỷ lệ của mục sau so với mục trước là 1,6180339887... )
Có một tính chất khác, bắt đầu từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng lẻ lớn hơn tích của hai số hạng đứng trước là 1, và bình phương của mỗi số hạng chẵn nhỏ hơn 1 so với tích của hai số hạng đứng trước.
Nếu bạn thấy một chủ đề như vậy: Có người cắt một hình vuông 8*8 thành bốn mảnh và ghép chúng lại thành một hình chữ nhật 5*13, và ngạc nhiên hỏi bạn: Tại sao lại là 64=65? Trên thực tế, tính chất này của dãy Fibonacci được sử dụng: 5, 8 và 13 là ba phần tử liền kề trong dãy. Trên thực tế, diện tích của hai khối trước và sau thực sự khác nhau 1, nhưng có một mảnh dòng trong hình phía sau Khe hở không dễ để người bình thường chú ý.
Nếu bạn chọn hai số bất kỳ làm điểm bắt đầu, chẳng hạn như 5, -2.4, rồi cộng hai mục lại với nhau để tạo thành 5, -2.4, 2.6, 0.2, 2.8, 3, 5.8, 8.8, 14.6...v.v. , bạn sẽ thấy rằng với sự phát triển của chuỗi, tỷ lệ của hai số hạng trước và sau ngày càng tiến gần đến phần vàng và sự khác biệt giữa bình phương của một số hạng nhất định và tích của hai số hạng trước và sau cũng luân phiên khác nhau một giá trị nhất định.
Phần tử thứ n của dãy Fibonacci cũng đại diện cho số lượng của tất cả các tập con trong tập {1,2,...,n} không chứa các số nguyên dương liền kề.
【Bí danh của dãy Fibonacci】
Dãy Fibonacci do nhà toán học Leonardo Fibonacci đưa ra với ví dụ nuôi thỏ nên còn được gọi là “dãy thỏ”.
Nói chung, thỏ sau khi sinh hai tháng là có khả năng sinh sản, một đôi thỏ mỗi tháng có thể sinh một đôi thỏ con. Nếu không có con thỏ nào chết thì một năm có thể đẻ được bao nhiêu cặp thỏ? Hãy phân tích một cặp thỏ mới sinh:
Trong tháng đầu tiên, thỏ con chưa có khả năng sinh sản nên vẫn là một cặp;
Hai tháng sau, có hai cặp thỏ ra đời;
Ba tháng sau, thỏ già lại sinh thêm một cặp, vì thỏ con chưa kịp sinh sản nên tổng cộng có ba cặp;
－－－－－
Bằng cách tương tự, bảng sau đây có thể được liệt kê:
Số tháng đã qua: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Số cặp thỏ: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8 trong bảng --- tạo thành một dãy số. Dãy số này liên quan đến một đặc điểm rất hiển nhiên, đó là: tổng của hai hàng liền kề trước sẽ tạo thành hàng sau.
Dãy số này do nhà toán học thời trung cổ người Ý Fibonacci đề xuất trong "Toàn thư về bàn tính". Công thức số hạng tổng quát của dãy số này, ngoài việc có tính chất a(n 2)=an a(n 1)/, còn có thể chứng minh đó Công thức số hạng tổng quát là: an=1/√[(1+√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....)
trình tự Lucas
Có một mối quan hệ tuyệt vời giữa Chuỗi Lucas và Chuỗi Fibonacci.
Đầu tiên xác định các số nguyên P và Q sao cho D = P2 - 4Q > 0,
Như vậy ta được phương trình x2 - Px Q = 0, có nghiệm là a, b,
Trình tự Lucas hiện được định nghĩa là:
Un(P,Q) = (an - bn) / (ab) và Vn(P,Q) = an bn
Trong đó n là số nguyên không âm, U0(P,Q) = 0, U1(P,Q) = 1, V0(P,Q) = 2, V1(P,Q) = P, …
Chúng tôi có các danh tính sau liên quan đến số Lucas:
Um n = UmVn - anbnUm-n , Vm n = VmVn - anbnVm-n
Um 1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm 1 = P*Vm - Q*Vm-1 (n = 1)
U2n = UnVn, V2n = Vn2 - Qn
U2n 1 = Un 1Vn - Qn, V2n 1 = Vn 1Vn - PQn
Nếu (P,Q) = (1,-1), ta có Un là số Fibonacci,
Đó là, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4141, 6765, v.v.
Và Vn là Số Lucas,
Đó là, 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5781, 9349, v.v.
Nếu (P,Q) = (2,-1), ta có Un là Số Pell,
Đó là, 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, v.v.
Còn Vn là Số Pell-Lucas (Pell-Lucas Number) (chi tiết xem bài khác "Dãy số Pell"),
Tức là 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, v.v.
Đây là tất cả các trình tự nổi tiếng trong toán học.
Tính chất của số Lucas
Số Lucas (viết tắt là Ln) có nhiều tính chất tương tự như số Fibonacci. Chẳng hạn như Ln = Ln-1 Ln-2, trong đó sự khác biệt là L1 = 1, L2 = 3.
Vậy số Lucas là: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,...... (OEIS A000204), số chính phương chỉ là 1 và 4, được xác định bởi Chứng minh của John HE Cohn. Và các số nguyên tố, tức là các số nguyên tố Lucas (Lucas Prime) là: 3, 7, 11, 29, 47, ...... . Trong số đó, số nguyên tố có thể xảy ra lớn nhất (Probable Prime) được biết đến là L574219, có tới 120.005 chữ số.
Chúng tôi có các danh tính sau liên quan đến số Lucas:
Ln2 - Ln-1Ln 1 = 5 (-1)n
L12 L22 ...... Ln2 = LnLn 1 - 2
Lm n = (5FmFn LmLn) / 2 (với Fn là số Fibonacci)
Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2
Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n
Thêm
