Nombor Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4141, 6765, dsb.
Nombor Lucas:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5781, 9349, dsb.
Nombor Pell:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, dsb.
Pell - Nombor Lucas:
2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, dsb.
Ini semua adalah urutan yang terkenal dalam matematik.
Jujukan Fibonacci
Pengenalan kepada Jujukan Fibonacci
Jujukan Fibonacci (juga diterjemahkan sebagai "jujukan Fibonacci" atau "jujukan Fibonacci") ialah jujukan yang sangat cantik dan harmoni yang bentuknya boleh digambarkan dengan satu siri segi empat sama yang disusun dalam lingkaran (seperti rajah masuk kanan), segi empat sama awal ( ditunjukkan dalam warna kelabu dalam rajah) mempunyai panjang sisi 1, dan panjang sisi segi empat sama di sebelah kirinya juga 1, dan satu lagi segi empat sama diletakkan di atas dua petak ini, dan panjang sisinya ialah 2, dan kemudian tambah segi empat sama dengan panjang sisi 3, 5, 8, 13, 21... dan seterusnya. Setiap nombor ini adalah sama dengan jumlah dua nombor sebelumnya, dan mereka hanya membentuk jujukan Fibonacci. Pencipta "jujukan Fibonacci" ialah ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci (lahir pada 1170 AD dan meninggal dunia pada 1240. Tempat asalnya mungkin Pisa). Dia dikenali sebagai "Leonardo of Pisa". Pada tahun 1202, beliau menulis buku "Liber Abaci" (Liber Abaci). Beliau merupakan orang Eropah pertama yang mempelajari teori matematik India dan Arab. Bapanya telah diupah sebagai konsul diplomatik oleh kumpulan perniagaan di Pisa, di mana dia ditempatkan di kawasan yang setara dengan Algeria hari ini, jadi Leonardo dapat belajar matematik di bawah bimbingan seorang guru Arab. Beliau juga belajar matematik di Mesir, Syria, Greece, Sicily dan Provence.
Urutan Fibonacci merujuk kepada urutan sedemikian: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Urutan bermula dengan sebutan ketiga, dan setiap sebutan adalah sama dengan jumlah dua sebutan sebelumnya. Formula istilah amnya ialah: (1/√5)*{[(1 √5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5 bermaksud punca kuasa dua aritmetik bagi 5) ( Minnie ahli matematik Perancis abad ke-19 (Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)
Adalah sangat menarik bahawa urutan nombor asli sedemikian, formula istilah umum sebenarnya dinyatakan oleh nombor tidak rasional.
Urutan Fibonacci yang terkenal mungkin juga berkaitan dengan penulis saspens Amerika Dan Brown, yang bijak menggunakan urutan itu dalam novelnya "The Da Vinci Code".
Malah, segi tiga Yang Hui disebut dalam buku teks sekolah menengah semasa di negara kita, dan jujukan Fibonacci boleh didapati di dalamnya.
⋙ Kemunculan jujukan Fibonacci
Pada awal abad ke-13, ahli matematik terbaik di Eropah ialah Fibonacci; dia menulis sebuah buku yang dipanggil "Book of Abacus", yang merupakan buku matematik terbaik di Eropah pada masa itu. Terdapat banyak masalah matematik yang menarik dalam buku ini, yang paling menarik adalah yang berikut:
"Jika sepasang arnab boleh melahirkan sepasang anak arnab setiap bulan, dan setiap pasangan arnab muda boleh mula melahirkan sepasang lagi anak arnab pada bulan ketiga selepas kelahirannya, dengan mengandaikan bahawa tidak ada kematian, akan ada sepasang anak arnab. Bermula daripada arnab yang baru lahir, berapa pasang arnab yang boleh dibiakkan selepas setahun?"
Fibonacci menyusun beberapa nombor yang dikira pertama dalam rentetan: 1, 1, 2, 3, 5, 8...
Terdapat peraturan yang tersirat dalam siri nombor ini: bermula dari nombor ketiga, setiap nombor berikutnya ialah hasil tambah dua nombor sebelumnya. Mengikut undang-undang ini, selagi beberapa penambahan mudah dibuat, bilangan arnab dalam setiap bulan boleh dikira.
Oleh itu, nombor yang dikira mengikut undang-undang ini membentuk urutan yang terkenal dalam sejarah matematik. Semua orang memanggilnya "jujukan Fibonacci", juga dikenali sebagai "jujukan arnab". Urutan ini mempunyai banyak sifat pelik. Contohnya, bermula dari nombor ketiga, nisbah setiap nombor kepada nombor selepas ia sangat hampir dengan 0.618, yang bertepatan dengan "undang-undang seksyen emas" yang terkenal. Orang ramai juga telah mendapati bahawa walaupun undang-undang pertumbuhan sesetengah organisma boleh diterangkan oleh jujukan ini di bawah andaian tertentu.
Fischer sendiri tidak membincangkan urutan ini dengan lebih lanjut. Hanya pada awal abad ke-19 orang mempelajarinya secara terperinci. Sekitar tahun 1960, ramai ahli matematik sangat berminat dengan jujukan Fibonacci dan fenomena yang berkaitan. Mereka bukan sahaja menubuhkan Persatuan Fibonacci, tetapi juga menubuhkan penerbitan berkaitan. Artikel juga berlipat ganda seperti arnab Fibonacci.
⋙ Asal dan hubungan jujukan Fibonacci
Urutan Fibonacci berasal dari masalah arnab, dan ia mempunyai hubungan rekursif,
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1) f(n-2), dengan n>=2
{f(n)} ialah jujukan Fibonacci.
⋙ Formula Jujukan Fibonacci
Formula istilah amnya ialah: {[(1+√5)/2]^n - [(1－√5)/2]^n }/√5 (Nota: √5 bermaksud nombor punca 5)
⋙ Beberapa sifat bagi jujukan Fibonacci
1), f(n)f(n)-f(n 1)f(n-1)=(-1)^n;
2), f(1) f(2) f(3) ... f(n)=f(n 2)-1
3), arctan[1/f(2n 1)]=arctan[1/f(2n 2)] arctan[1/f(2n 3)]
【Kewujudan jujukan Fibonacci】
Malah boleh dikatakan bahawa jujukan Fibonacci ada di mana-mana. Berikut adalah beberapa contoh biasa:
Jumlah nombor pada pepenjuru segi tiga Yang Hui membentuk jujukan Fibonacci.
Kad domino (yang boleh dilihat sebagai segi empat sama 2×1) meliputi sepenuhnya papan n×2, dan bilangan skim yang dilindungi adalah sama dengan jujukan Fibonacci.
Dari perspektif pembiakan lebah, andragon hanya mempunyai ibu dan tiada bapa, kerana telur yang diletakkan oleh ratu lebah, yang disenyawakan menetas menjadi lebah betina, dan yang tidak disenyawakan menetas menjadi androgen. Apabila orang mengesan nenek moyang Xiongfeng, mereka mendapati bahawa bilangan nenek moyang generasi ke-X Xiongfeng hanyalah sebutan ke-n Fn bagi jujukan Fibonacci.
Susunan 13 skala kromatik piano adalah serupa sepenuhnya dengan generasi keenam Xiongfeng, menunjukkan bahawa nada itu juga berkaitan dengan jujukan Fibonacci.
Bilangan kelopak beberapa bunga di alam semula jadi mematuhi urutan Fibonacci, iaitu, dalam kebanyakan kes, bilangan kelopak bunga ialah 3, 5, 8, 13, 21, 34,... (terdapat 6 Terdapat dua set 3 keping; 4 keping mungkin mutasi genetik).
Jika cawangan menumbuhkan cawangan baharu setiap tahun, dan cawangan baharu menumbuhkan cawangan baharu setiap tahun selepas dua tahun, maka bilangan cawangan sepanjang tahun juga membentuk jujukan Fibonacci.
【Jujukan Fibonacci dan Bahagian Emas】
Apakah hubungan antara jujukan Fibonacci dan bahagian emas? Ia didapati melalui penyelidikan bahawa nisbah dua nombor Fibonacci bersebelahan secara beransur-ansur cenderung kepada nisbah emas apabila nombor siri meningkat. Iaitu, f(n- 1)/f(n)-→0.618.... Oleh kerana nombor Fibonacci adalah semua integer, hasil bahagi bagi dua integer ialah nombor rasional, jadi ia hanya menghampiri nombor tidak rasional nisbah emas secara beransur-ansur. Tetapi apabila kita terus mengira nombor Fibonacci yang lebih besar nanti, kita akan dapati nisbah dua nombor yang bersebelahan sememangnya sangat hampir dengan nisbah emas.
Bukan sahaja "nombor Fibonacci" bermula dari 1, 1, 2, 3, 5... adalah seperti ini, pilih dua integer secara rawak, dan kemudian susunkannya mengikut peraturan nombor Fibonacci, nisbah antara dua nombor Ia juga akan beransur-ansur mendekati nisbah emas.
Segitiga Jujukan Padua
[Varian bagi jujukan Fibonacci]
1. Jujukan Padua: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, ... Urutan sedemikian dipanggil jujukan Padua. Ia sangat serupa dengan jujukan Fibonacci, kecuali setiap nombor diperoleh dengan melangkau nombor sebelumnya dan menambah dua nombor sebelum itu. Siri nombor ini boleh diwakili oleh gambar lain, yang terdiri daripada beberapa segi tiga sama sisi (seperti ditunjukkan di sebelah kanan). Segitiga pertama ditunjukkan dalam warna kelabu. Untuk menjadikan segi tiga ini padan dengan lancar, tiga segi tiga pertama mempunyai panjang sisi 1, dua segitiga seterusnya mempunyai panjang sisi 2, dan kemudian 3, 4, 5, dan 7 dalam urutan. . , 9, 12, 16, 2l...dsb.
2. Dongdong mempunyai 15 biji gula-gula. Jika dia makan sekurang-kurangnya 3 biji sehari sehingga habis, berapa banyak cara yang berbeza untuk memakannya?
Jika Dongdong mempunyai 3 gula-gula, 4 gula-gula atau 5 gula-gula, hanya ada satu cara untuk memakannya; jika terdapat 6 gula-gula, terdapat 2 cara untuk memakannya; jika terdapat 7 gula-gula, terdapat 3 cara untuk memakannya; jika Jika ada 8 gula-gula, terdapat 4 cara untuk memakannya; jika terdapat 9 biji gula-gula, terdapat 6 cara untuk memakannya.
Iaitu: bilangan butir gula-gula: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. . .
Cara makan gula: 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19. . .
Urutan sedemikian adalah berbeza daripada jujukan Fibonacci kerana ia melangkau nombor di tengah setiap kali, dan kemudian menambah nombor pertama dan ketiga bersama-sama untuk menyamai nombor ke-4. Undang-undangnya adalah serupa dan berbeza daripada jujukan Fibonacci.
3. Xiao Ming ingin menaiki tangga. Dia boleh menaiki satu, dua atau tiga anak tangga pada satu masa. Jika tangga itu mempunyai 10 anak tangga, berapa banyak cara berbeza yang dia boleh berjalan?
Di sini kita mungkin juga mengkaji peraturan: jika tangga hanya mempunyai satu tingkat, dia mempunyai 1 cara berjalan; jika tangga mempunyai dua langkah, dia mempunyai 2 cara berjalan; jika tangga mempunyai tiga langkah, dia mempunyai 4 cara untuk berjalan. berjalan; Jika terdapat lima anak tangga, dia mempunyai 7 cara untuk berjalan.
Iaitu: bilangan anak tangga: 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .
Cara menaiki tangga: 1 2 4 7 13 24 44 81. . .
Peraturan di sini ialah bermula dari nombor keempat di sini, setiap nombor adalah sama dengan jumlah tiga nombor sebelum itu.
[Jujukan ini mempunyai banyak sifat indah]
Sebagai contoh: apabila bilangan item urutan bertambah, nisbah item sebelumnya kepada item seterusnya lebih hampir dengan bahagian emas 0.6180339887... (nisbah item terakhir kepada item sebelumnya ialah 1.6180339887... )
Terdapat satu lagi sifat, bermula dari sebutan kedua, kuasa dua bagi setiap sebutan ganjil adalah 1 lebih daripada hasil darab dua sebutan sebelumnya, dan kuasa dua bagi setiap sebutan genap ialah 1 kurang daripada hasil darab dua sebutan sebelumnya.
Jika anda melihat topik sedemikian: Seseorang memotong petak 8*8 kepada empat bahagian dan meletakkannya bersama-sama menjadi segi empat tepat 5*13, dan bertanya kepada anda dengan terkejut: Mengapa 64=65? Malah, sifat jujukan Fibonacci ini digunakan: 5, 8, dan 13 ialah tiga item bersebelahan dalam jujukan. Sebenarnya, kawasan dua blok sebelum dan selepas memang berbeza dengan 1, tetapi terdapat langsing. garisan pada rajah di belakang.Celah itu tidak mudah untuk diperhatikan oleh orang biasa.
Jika anda memilih mana-mana dua nombor sebagai titik permulaan, seperti 5, -2.4, dan kemudian tambah kedua-dua item itu bersama-sama untuk membentuk 5, -2.4, 2.6, 0.2, 2.8, 3, 5.8, 8.8, 14.6...dsb. , anda Ia akan didapati bahawa dengan perkembangan jujukan, nisbah dua sebutan sebelum dan selepas semakin hampir dengan bahagian emas, dan perbezaan antara kuasa dua sebutan tertentu dan hasil darab dua sebutan itu. sebelum dan selepas juga berbeza secara bergantian dengan nilai tertentu.
Item ke-n bagi jujukan Fibonacci juga mewakili bilangan semua subset dalam set {1,2,...,n} yang tidak mengandungi integer positif bersebelahan.
【Alias urutan Fibonacci】
Urutan Fibonacci diperkenalkan oleh ahli matematik Leonardo Fibonacci dengan contoh pembiakan arnab, jadi ia juga dipanggil "jujukan arnab".
Secara umumnya, arnab mempunyai keupayaan untuk membiak selepas dua bulan kelahiran, dan sepasang arnab boleh melahirkan sepasang anak arnab setiap bulan. Jika tidak ada arnab yang mati, berapa pasang arnab yang boleh dibiakkan dalam satu tahun? Mari analisa sepasang arnab yang baru lahir:
Pada bulan pertama, arnab tidak mempunyai keupayaan pembiakan, jadi ia masih sepasang;
Dua bulan kemudian, terdapat dua pasang arnab yang dilahirkan;
Tiga bulan kemudian, arnab tua melahirkan sepasang lagi, kerana arnab yang lebih muda masih belum dapat membiak, maka jumlahnya ada tiga pasang;
－－－－－
Dengan analogi, jadual berikut boleh disenaraikan:
Bulan berlalu: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pasangan arnab: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
Nombor 1, 1, 2, 3, 5, 8 dalam jadual --- membentuk urutan nombor. Urutan nombor ini berkaitan dengan ciri yang sangat jelas, iaitu: jumlah dua item bersebelahan sebelumnya merupakan item yang terakhir.
Urutan ini telah dicadangkan oleh ahli matematik zaman pertengahan Itali Fibonacci dalam "Buku Lengkap Abakus". Formula istilah umum siri ini, selain mempunyai sifat a(n 2)=an a(n 1)/, juga boleh membuktikan bahawa Formula istilah am ialah: an=1/√[(1+√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....)
Urutan Lucas
Terdapat hubungan yang hebat antara Jujukan Lucas dan Jujukan Fibonacci.
Mula-mula takrifkan integer P dan Q supaya D = P2 - 4Q > 0,
Oleh itu kita mendapat persamaan x2 - Px Q = 0, yang puncanya ialah a, b,
Urutan Lucas kini ditakrifkan sebagai:
Un(P,Q) = (an - bn) / (ab) dan Vn(P,Q) = an bn
Di mana n ialah integer bukan negatif, U0(P,Q) = 0, U1(P,Q) = 1, V0(P,Q) = 2, V1(P,Q) = P, …
Kami mempunyai identiti berikut yang berkaitan dengan nombor Lucas:
Um n = UmVn - anbnUm-n , Vm n = VmVn - anbnVm-n
Um 1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm 1 = P*Vm - Q*Vm-1 (n = 1)
U2n = UnVn, V2n = Vn2 - Qn
U2n 1 = Un 1Vn - Qn, V2n 1 = Vn 1Vn - PQn
Jika (P,Q) = (1,-1), kita mempunyai Un sebagai nombor Fibonacci,
Iaitu, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4141, 6765, dsb.
Dan Vn ialah Nombor Lucas,
Iaitu, 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5781, 9349, dsb.
Jika (P,Q) = (2,-1), kita mempunyai Un sebagai Nombor Pell,
Iaitu, 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, dsb.
Dan Vn ialah Nombor Pell-Lucas (Nombor Pell-Lucas) (lihat artikel lain "Jujukan Pell" untuk butiran),
Iaitu, 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, dsb.
Ini semua adalah urutan yang terkenal dalam matematik.
Sifat nombor Lucas
Nombor Lucas (disingkat Ln) mempunyai banyak sifat yang serupa dengan nombor Fibonacci. Seperti Ln = Ln-1 Ln-2, di mana perbezaannya ialah L1 = 1, L2 = 3.
Jadi nombor Lucas ialah: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204), nombor kuasa dua hanya 1 dan 4, yang ditentukan oleh Terbukti oleh John HE Cohn. Dan nombor perdana, iaitu, nombor perdana Lucas (Lucas Prime) ialah: 3, 7, 11, 29, 47, ...... . Antaranya, nombor perdana berkemungkinan terbesar (Probable Prime) diketahui ialah L574219, yang mempunyai sebanyak 120,005 digit.
Kami mempunyai identiti berikut yang berkaitan dengan nombor Lucas:
Ln2 - Ln-1Ln 1 = 5 (-1)n
L12 L22 ...... Ln2 = LnLn 1 - 2
Lm n = (5FmFn LmLn) / 2 (dengan Fn ialah nombor Fibonacci)
Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2
Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n
Mengumpul
