費波那契數:
0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4141、 6765等。
盧卡斯數(Lucas Number):
2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 等。
佩爾數(Pell Number):
0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。
佩爾- 盧卡斯數(Pell - Lucas Number):
2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。
此等全都是數學界很有名的數列。
斐波拉契數列
斐波拉契數列的簡介
斐波拉契數列（又譯作“斐波那契數列”或“斐波那切數列”）是一個非常美麗、和諧的數列，它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來說明（如右詞條圖），起始的正方形(圖中用灰色表示)的邊長為1，在它左邊的那個正方形的邊長也是1 ，在這兩個正方形的上方再放一個正方形，其邊長為2，以後順次加上邊長為3、5、8、13、21……等等的正方形。這些數字每一個都等於前面兩個數之和， 它們正好構成了斐波那契數列。“斐波那契數列”的發明者，是意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區， 列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1 √5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的算術平方根) (19世紀法國數學家敏聶(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)
很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
斐波拉契數列之聞名，可能還跟美國懸疑作家丹·布朗有關，他在他的小說《達芬奇密碼》之中巧妙地運用了該數列。
其實，我國現行的高中教材中提及了楊輝三角，斐波拉契數列可在其中尋得。
⋙ 斐波拉契數列的出現
13世紀初，歐洲最好的數學家是斐波拉契；他寫了一本叫做《算盤書》的著作，是當時歐洲最好的數學書。書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的是下面這個題目：
“如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔在它出生後的第3個月裏，又能開始生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年後能繁殖成多少對兔子？”
斐波拉契把推算得到的頭幾個數擺成一串：1，1，2，3，5，8……
這串數里隱含著一個規律：從第3個數起，後面的每個數都是它前面那兩個數的和。而根據這個規律，只要作一些簡單的加法，就能推算出以後各個月兔子的數目了。
於是，按照這個規律推算出來的數，構成了數學史上一個有名的數列。大家都叫它“斐波拉契數列”，又稱“兔子數列”。這個數列有許多奇特的的性質，例如，從第3個數起，每個數與它後面那個數的比值，都很接近於0.618，正好與大名鼎鼎的“黃金分割律”相吻合。人們還發現，連一些生物的生長規律，在某種假定下也可由這個數列來刻畫呢。
斐氏本人對這個數列並沒有再做進一步的探討。直到十九世紀初才有人詳加研究，1960年左右，許多數學家對斐波拉契數列和有關的現象非常感到興趣，不但成立了斐氏學會，還創辦了相關刊物，其後各種相關文章也像斐氏的兔子一樣迅速地增加。
⋙ 斐波拉契數列的來源及關係
斐波拉契（Fibonacci）數列來源於兔子問題，它有一個遞推關係，
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1) f(n-2),其中n>=2
{f(n)}即為斐波拉契數列。
⋙ 斐波拉契數列的公式
它的通項公式為: {[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5 （注：√5表示根號5）
⋙ 斐波拉契數列的某些性質
1)，f(n)f(n)-f(n 1)f(n-1)=(-1)^n;
2), f(1) f(2) f(3) …… f(n)=f(n 2)-1
3),arctan[1/f(2n 1)]=arctan[1/f(2n 2)] arctan[1/f(2n 3)]
【斐波拉契數列的存在】
甚至可以說，斐波拉契數列無處不在，以下僅舉幾條常見的例子：
楊輝三角對角線上各數之和構成斐波拉契數列。
多米諾牌（可以看作一個2×1大小的方格）完全覆蓋一個n×2的棋盤，覆蓋的方案數等於斐波拉契數列。
從蜜蜂的繁殖來看，雄峰只有母親，沒有父親，因為蜂后產的卵，受精的孵化為雌蜂，未受精的孵化為雄峰。人們在追溯雄峰的祖先時，發現一隻雄峰的第n代祖先的數目剛好就是斐波拉契數列的第n項Fn。
鋼琴的13個半音階的排列完全與雄峰第六代的排列情況類似，說明音調也與斐波拉契數列有關。
自然界中一些花朵的花瓣數目符合於斐波拉契數列，也就是說在大多數情況下，一朵花花瓣的數目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是兩套3枚;有4枚可能是基因突變)。
如果一根樹枝每年長出一根新枝，而長出的新枝兩年以後，每年也長出一根新枝，那麼歷年的樹枝數，也構成一個斐波拉契數列。
【斐波拉契數列與黃金分割】
斐波拉契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個斐波拉契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n- 1)/f(n)-→0.618…。由於斐波拉契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的斐波拉契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。
不僅這個由1,1,2,3,5....開始的"斐波拉契數"是這樣,隨便選兩個整數,然後按照斐波拉契數的規律排下去,兩數間比也是會逐漸逼近黃金比的。
帕多瓦數列的三角形
【斐波拉契數列的變式】
１.帕多瓦數列：1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……這樣的數列稱為帕多瓦數列。它和斐波拉契數列非常相似，稍有不同的是：每個數都是跳過它前面的那個數，並把再前面的兩個數相加而得出的。這個數列可以用另一幅圖來表示，它是由一些等邊三角形構成的(如右圖)。開始的三角形用灰色表示，為了使這些三角形天衣無縫地拼在一起，頭三個三角形的邊長均為1，其後的兩個三角形的邊長為2，然後依次是3、4、5、7、9、12、16、2l……等等。
２.冬冬有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那麼共有多少種不同的吃法？
如果冬冬有3塊糖、4塊糖或者5塊糖，都只有1種吃法；如果有6塊糖，則有2 種吃法；如果有7塊糖，則有3種吃法；如果有8塊糖，則有4種吃法；如果有9塊糖，則有6種吃法。
既：吃糖的粒數：３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２．．．
糖的吃法：１ １ １ ２ ３ ４ ６ ９ １３ １９．．．
這樣的數列，它和斐波拉契數列不同的是，每次都是跳過中間的那個數，再把第1、3兩個數相加，等於第4個數。它的規律和斐波拉契數列既相似之處又有不同之處。
３.小明要上樓梯， 他每次能向上走一級、兩級或三級，如果樓梯有10級，他有幾種不同的走法？
這裡我們不妨也來研究一下其中的規律：如果樓梯就一級，他有1種走法；如果樓梯有兩級，他有2種走法；如果樓梯有三級，他有4種走法；如果有五級樓梯，他有7種走法。
既：樓梯的級數：１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ．．．
上樓梯的走法：１ ２ ４ ７ １３ ２４ ４４ ８１．．．
這其中的規律就是，這裡從第4個數開始，每一個數都等於它前面的3個數之和。
【該數列有很多奇妙的屬性】
比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近黃金分割0.6180339887…… (後一項與前一項之比1.6180339887…… )
還有一項性質，從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1。
如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13 的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。
如果任意挑兩個數為起始，比如5、-2.4，然後兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、 8.8、14.6……等，你將發現隨著數列的發展，前後兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前後兩項之積的差值也交替相差某個值。
斐波那契數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。
【斐波那契數列別名】
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;
兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對;
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對;
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子對數：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是意大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n 2)=an a(n 1)/的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）
盧卡斯數列
盧卡斯數列(Lucas Sequence) 和費波拿契數列(Fibonnacci Sequence) 有莫大的關係。
先定義整數P 和Q 使D = P2 - 4Q > 0，
從而得一方程x2 - Px Q = 0，其根為a, b，
現定義盧卡斯數列為：
Un(P,Q) = (an - bn) / (ab) 及Vn(P,Q) = an bn
其中n 為非負整數，得U0(P,Q) = 0、 U1(P,Q) = 1 、 V0(P,Q) = 2 、 V1(P,Q) = P、......
我們有下列和盧卡斯數列相關的恆等式：
Um n = UmVn - anbnUm-n 、 Vm n = VmVn - anbnVm-n
Um 1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm 1 = P*Vm - Q*Vm-1 (取n = 1)
U2n = UnVn 、 V2n = Vn2 - Qn
U2n 1 = Un 1Vn - Qn 、 V2n 1 = Vn 1Vn - PQn
若取(P,Q) = (1,-1)，我們便有Un 為費波拿契數，
即0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4141、 6765等。
而Vn 為盧卡斯數(Lucas Number)，
即2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 等。
若取(P,Q) = (2,-1)，我們便有Un 為佩爾數(Pell Number)，
即0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。
而Vn 為佩爾- 盧卡斯數(Pell - Lucas Number) (詳見另文《佩爾數列》)，
即2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。
此等全都是數學界很有名的數列。
盧卡斯數的性質
盧卡斯數(簡記Ln) 有很多性質和費波拿契數很相似。如Ln = Ln-1 Ln-2，其中不同的是L1 = 1、 L2 = 3。
所以盧卡斯數有：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204)，當中的平方數只有1 和4，這是由哥恩(John HE Cohn) 證明的。而素數，即盧卡斯素數(Lucas Prime) 則有： 3, 7, 11, 29, 47, ...... 。當中現在知道最大的擬素數(Probable Prime) 為L574219 ，此數達120005位之多。
我們有下列和盧卡斯數相關的恆等式：
Ln2 - Ln-1Ln 1 = 5 (-1)n
L12 L22 ...... Ln2 = LnLn 1 - 2
Lm n = (5FmFn LmLn) / 2 (式中的Fn 為費波拿契數)
Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2
Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n
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